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On a relation between leafwise cohomology theory and representation theory

森, 翔汰 名古屋大学

2023.06.23

概要

報告番号



















On a relation between

論文題目

leafwise cohomology theory and representation theory
(葉向コホモロジー理論と表現論の関係について)





森 翔汰

論 文 内 容 の 要 旨
葉向複体は de Rham 複体の商複体である。それは、滑らかな多様体上の滑らかな葉層構造に付随
するものである。現在に至るまでの約 70 年間、葉向コホモロジー理論は、群作用のパラメータ剛性
理論との繋がりの中で研究されてきた。特にパラメータ剛性理論への応用において、葉向コホモロジ
ー群の計算結果を知ることが重要である。
葉向コホモロジー群の最も重要な計算結果は、Arraut and dos Santos(1991)のものである。彼らは
トーラス上の線形葉層の葉向コホモロジー群を全て求めた。その一部においては環構造まで決定して
いる。これらの証明方法は、トーラスの de Rham コホモロジー群を Fourier 級数で求める方法の発
展版である。しかし、その線形方程式の解法は非自明である。
この計算を除き、多くの結果は 1 次葉向コホモロジー群のものである。例えば以下のものが知られ
ている。𝐺𝐺 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(2, ℝ)とおく。𝑃𝑃 ⊂ 𝐺𝐺を上三角行列全体からなる部分群、Γ ⊂ 𝐺𝐺をココンパクト格子と

する。また𝑀𝑀Γ = Γ ∖ 𝐺𝐺とおく。そしてℱ𝑃𝑃 を、𝑃𝑃から𝑀𝑀Γ への自然な作用から定まる軌道葉層とする。こ
の時、松元と三松(2003)によって、次の同型が証明された。

1
(𝑀𝑀Γ ).
𝐻𝐻1 (ℱ𝑃𝑃 ) ≅ ℝ ⊕ 𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑

1 (𝑀𝑀 )は
1 次 de Rham コホモロジー群である。
ただし、𝐻𝐻1 (ℱ𝑃𝑃 )は 1 次葉向コホモロジー群、𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑
Γ

2021 年に、高次葉向コホモロジー群の計算に進展があった。申請者が次の次元公式を証明した。一

般に葉向コホモロジー群は有限次元でないことに注意する。

dim 𝐻𝐻2 (ℱ𝑃𝑃 ) = 2𝑔𝑔.

ただし、𝑔𝑔はある非負整数である。これは𝐺𝐺の表現論において意味のある数である。同じ時期に丸橋と
蔦谷(2021)は、申請者と独立して、特別な場合に次の同型を証明した。
2
(𝑀𝑀Γ ).
𝐻𝐻2 (ℱ𝑃𝑃 ) ≅ 𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑

以上に述べた数式を統合、一般化する形で、申請者は次の主定理を得た。

定理 1(主定理)

ある非負整数 𝑔𝑔が存在して、以下の環としての同型が存在する。ただし 𝑋𝑋, 𝑌𝑌1 , … , 𝑌𝑌2𝑔𝑔 は不定変数。

𝐻𝐻∗ (ℱ𝑃𝑃 ) ≅ ��𝑋𝑋, 𝑌𝑌1 , … , 𝑌𝑌2𝑔𝑔 � /(𝑌𝑌𝑖𝑖 ⋀𝑌𝑌𝑗𝑗 )1≤𝑖𝑖,𝑗𝑗≤2𝑔𝑔 .

我々の証明方法は、𝐺𝐺の既約ユニタリ表現論の応用である。これは Arraut and dos Santos(1991)の方
法の拡張である。言い換えると、それはトーラスの de Rham コホモロジー群を Fourier 級数で求め
る方法のアナロジーである。証明の鍵は、線形方程式をいかにして効率的に解くかである。
定理 1 における𝑔𝑔は幾何学的な意味を持つ。
松元と三松(2003)の結果と定理 1 を合わせて次を得る。
1
dim 𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑀𝑀Γ ) = 2𝑔𝑔.

𝐾𝐾 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(2), ΣΓ = Γ ∖ 𝐺𝐺/𝐾𝐾とおく。この次元公式の下、次の事実は専門家にとって well-known である。
定理 2 以下が成立する。

(i) 𝛴𝛴𝛤𝛤 はある向き付け可能閉曲面に同相。

(ii) その種数を 𝑔𝑔𝛤𝛤 とおく。すると 𝑔𝑔 = 𝑔𝑔𝛤𝛤 .

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