リケラボ論文検索は、全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索できる論文検索サービスです。

リケラボ 全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索するならリケラボ論文検索大学・研究所にある論文を検索できる

リケラボ 全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索するならリケラボ論文検索大学・研究所にある論文を検索できる

大学・研究所にある論文を検索できる 「代数体の整数環に対する数論的Dijkgraaf-Witten理論について」の論文概要。リケラボ論文検索は、全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索できる論文検索サービスです。

コピーが完了しました

URLをコピーしました

論文の公開元へ論文の公開元へ
書き出し

代数体の整数環に対する数論的Dijkgraaf-Witten理論について

平野, 光 HIRANO, Hikaru ヒラノ, ヒカル 九州大学

2023.03.20

概要

九州大学学術情報リポジトリ
Kyushu University Institutional Repository

Arithmetic Dijkgraaf-Witten Theory for Number
Rings
平野, 光

https://hdl.handle.net/2324/6787430
出版情報:Kyushu University, 2022, 博士(数理学), 課程博士
バージョン:
権利関係:

(様式3)





論 文 名

:平野



: Arithmetic Dijkgraaf-Witten Theory for Number Rings
(代数体の整数環に対する数論的 Dijkgraaf-Witten 理論について)





:甲















本学位論文では、数論的位相幾何学における 3 次元多様体と代数体の整数環との類似、結び目と
素イデアルとの類似に基き、(2+1)次元 Dijkgraaf-Witten 理論の数論類似を追究する。
Dijkgraaf-Witten 理論は有限ゲージ群に関する Chern-Simons ゲージ理論であり、Atiyah によ
る TQFT (topological quantum field theory)の具体例である。TQFT とは、多様体の位相不変量を
構 成 す る た め の 枠 組 み で あ り 、 Dijkgraaf-Witten TQFT か ら 得 ら れ る 不 変 量 ( 分 配 関 数 ) は
Dijkgraaf-Witten 不変量と呼ばれる。
近年、数論的位相幾何学における種々の類似に基き、Minhyong Kim 氏は数論的 Chern-Simons
理論を創始し、ゲージ群が有限群や p 進 Lie 群の場合に、Chern-Simons 汎関数の数論類似を(総虚
な)代数体の整数環に対して構成した。また、同氏と彼の共同研究者等は、数論的 Chern-Simons
不変量に関する decomposition formula を示し、それを用いて数論的 Chern-Simons 不変量の具体
例を計算した。
本学位論文の概要は次の(1)~(4)の通りである。
(1)ある 3 次元球面の分岐被覆に対して、mod 2 Dijkgraaf-Witten 不変量を計算する公式を与えた
結果を述べる。
(2)(topological な) (2+1)次元 Dijkgraaf-Witten TQFT の構成を復習する。
(3)(一般の)代数体の整数環に対して数論的 Dijkgraaf-Witten 不変量を定義し、(1)の数論類似とし
て、ある実二次体の整数環に対して mod 2 数論的 Dijkgraaf--Witten 不変量を計算する公式を与え
た結果を述べる。
(4)特別な設定の下で(2+1)次元 Dijkgraaf-Witten TQFT の数論類似を構成した結果を述べる。
また、各章の具体的な内容は次の通りである。
2 章では、閉 3 次元多様体に対して Chern-Simons 不変量、Dijkgraaf-Witten 不変量の定義を復
習し、ある絡み目上分岐する 3 次元球面の二重分岐被覆に対して mod 2 Dijkgraaf-Witten 不変量
を計算する公式を与える。
3 章では、Atiyah による TQFT の定義を復習し、( topological な) Dijkgraaf-Witten TQFT の構
成 に つ い て 概 説 す る 。 具 体 的 に は 、 各 有 向 閉 曲 面 に 対 し て 、 Chern-Simons 1-cocycle と
prequantization bundle を構成し、各有向コンパクト 3 次元多様体に対して、Chern-Simons 汎関
数の定義を行い、それらを用いて quantum Hilbert space と分配関数を構成する。
4 章では、2 章の内容の数論類似を述べる。即ち、(一般の)代数体の整数環に対して Chern-Simons

不変量、Dijkgraaf-Witten 不変量の定義を与え、ある実 2 次体の整数環に対して、2 章で示した公
式の類似を示す。
5 章では、3 章の内容に基き、特別な設定の下で数論的 Dijkgraaf-Witten 理論の構成を述べる。
具体的には、代数体の有限素点の有限集合に対して、Chern-Simons 1-cocycle, prequantization
bundle の数論類似を構成し、代数体の整数環から有限素点の有限集合を除いたものに対して、数論
的 Chern-Simons 汎関数の定義を行い、それらを用いて quantum Hilbert space と分配関数の数論
類似を構成する。さらに、M.Kim 氏らによる decomposition formula を用いて、数論的 quantum
Hilbert space と分配関数らに関する gluing formula を示す。

参考文献

[AC] E. Ahlqvist, M. Carlson, The cohomology of the ring of integers of a

number field, arXiv:1803.08437.

[Ar] M. Artin, Grothendieck topologies, Harvard University, Cambridge,

Mass, 133 pp, 1962.

[At1] M. Atiyah, Topological quantum field theories, Inst. Hautes Etudes

Sci. Publ. Math. 68 (1988), 175–186.

[At2] M. Atiyah, The Geometry and Physics of Knots, Cambridge University

Press, 1990.

[BCGKPT] F.M. Bleher, T. Chinburg, R. Greenberg, M. Kakde, G. Pappas,

M. Taylor, Cup products in the ´etale cohomology of number fields, New

York J. Math. 24 (2018), 514–542.

[BD] J.-L. Brylinski, P. Deligne, Central extensions of reductive groups by

K2 , Publ. Math. de I´IHES, Tome 94, (2001), 5-85.

[Bi] M. Bienenfeld, An etale cohomology duality theorem for number fields

with a real embedding. Trans. Amer. Math. Soc. 303 (1987), no. 1,

71–96.

[BL] A. Beauville, Y. Laszlo, Conformal blocks and generalized theta functions, Commun. Math. Phys. 164 (1994), 385–419.

[BM1] J.-L. Brylinski, D.A. McLaughlin, The geometry of degree-4 characteristic classes and of line bundles on loop groups I, Duke Math.J., 75,

No.3, (1994), 603-683.

[BM2] J.-L. Brylinski, D.A. McLaughlin, The geometry of degree-4 characteristic classes and of line bundles on loop groups II, Duke Math.J., 83,

No.1, (1996), 105-139.

[BM3] J.-L. Brylinski, D.A. McLaughlin, Non-commutative reciprocity laws

associated to finite groupss, Contemp. Math., 202, Amer. Math. Soc.,

Providence, RI, (1997), 421-438.

[CK] M.Carlson, M.Kim, A note on abelian arithmetic BF-theory, Bull. London Math. Soc., 54, Issue 4 (2022), 1299-1307.

84

[CKKPPY] H.-J. Chung, D. Kim, M. Kim, G. Pappas, J. Park, H. Yoo,

Abelian arithmetic Chern–Simons theory and arithmetic linking numbers, Int. Math. Res. Not. 18 (2019), 5674–5702.

[CKKPY] H.-J. Chung, D. Kim, M. Kim, J. Park and H. Yoo, Arithmetic

Chern–Simons theory II, In: p-adic Hodge theory, B. Bhatt, M. Olsson (eds) (2017 Simons Symposium on p-adic Hodge theory), Springer

International Publishing, (2020), 81–128.

[DK] Y.Deng, R.Kurimaru, Arithmetic Dijkgraaf–Witten invariants for real

quadratic fields, quadratic residue graphs and density formulas, preprint

2022.

[DW] R. Dijkgraaf, E. Witten, Topological gauge theories and group cohomology, Commun. Math. Phys. 129 (1990), 393–429.

[EM] S. Eilenberg, S. MacLane, Cohomology theory in abstract groups I,

Annals of Math. 48 (1947), 51–78.

[Fo] R.H. Fox, Covering spaces with singularities, In: A symposium in honor

of S. Lefschetz. Princeton University Press. (1957), 243–257.

[FQ] D. Freed, F. Quinn, Chern–Simons theory with finite gauge group.

Comm. Math. Phys. 156 (1993), no.3, 435–472.

[Gm] K. Gomi, Extended topological quantum field theory: a toy model.

(Japanese) In: Report of the 4th Kinosaki Seminar, 2007, 18 pages.

[Hi] H. Hirano, On mod 2 Dijkgraaf–Witten invariants for certain real

quadratic number fileds, arXiv:1911.12964. to appear in Osaka J. Math.

[HKM] H. Hirano, J.Kim, M.Morishita, On arithmetic Dijkgraaf–Witten

theory, to appear in Commun in Number Theory and Physics, 17, no.1,

(2023).

[Ki] M. Kim, Arithmetic Chern–Simons Theory I, In: Galois covers,

Grothendieck-Teichm¨

uller Theory and Dessins d’Enfants – Interactions

between Geometry, Topology, Number Theory and Algebra. Springer

Proceedings in Mathematics & Statistics, 330 (2020), 155-180.

[Ko] T. Kohno, Conformal field theory and topology. Translations of Mathematical Monographs, 210. Iwanami Series in Modern Mathematics.

Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2002.

85

[Kub] T. Kubota, Topological coverings of SL(2) over a local field, J. Math.

Soc. Japan, 19, (1967), 114-121.

[LP] J. Lee, J. Park, Arithmetic Chern–Simons theory with real places,

arXiv:1905.13610.

[My] J. P. May, Simplicial objects in algebraic topology. Reprint of 1967

original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press,

Chicago, II, 1992.

[Mz] B. Mazur, Notes on etale cohomology of number fields. Ann. Sci. Ecole

Norm. Sup. (4) 6 (1973), 521–552.

[Mh] T. Mihara, Cohomological approach to class field theory in arithmetic

topology, Canad. J. Math. 71 (2019), no. 4, 891–935.

[Mi1] J.S. Milne, Etale

cohomology, volume 33 of Princeton Mathematical

Series. Princeton University Press, 1980.

[Mi2] J. S. Milne, Arithmetic Duality Theorems, Perspectives in Math. Vol.

1, Academic Press, 1986.

[Mo1] M. Morishita, Integral representations of unramified Galois groups

and matrix divisors over number fields, Osaka J. Math. 32 (1995), no.

3, 565–576.

[Mo2] M. Morishita, Knots and Primes – An introduction to Arithmetic

Topology. Universitext. Springer, London, 2012.

[Mo3] M. Morishita, A theory of genera for cyclic coverings of links. Proc.

Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 77(2001), 115–118.

[MOO] H. Murakami, T. Ohtsuki, and M. Okada, Invariants of threemanifolds derived from linking matrices of framed links. Osaka J. Math.

29(1992), 545–572.

[NSW] J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg, Cohomology of number fields.

Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323,

Springer-Verlag, Berlin, 2008.

[NU] H. Niibo, J. Ueki, Id`elic class field theory for 3-manifolds and very

admissible links, Transactions of the AMS. 371, No.12, (2019), 8467–

8488.

86

[O] T. Ono, An introduction to algebraic number theory, The University

Series in Mathematics. Plenum Press, New York, 1990.

[S1] J.-P. Serre, Cohomologie Galoisienne. Lecture Note in Math. 5,

Springer, 1965.

[S2] J.-P. Serre, Corps Locaux. Hermann, 1968.

[Seg] G. B. Segal, The definition of conformal field theory, In: Differential geometrical methods in theoretical physics (Como, 1987). Vol. 250. NATO

Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,

1988, 165–171.

[SGA I] A. Grothendieck: Revˆetements ´etales et groupe fondamental

(S´eminaire de g´eom´etrie alg´ebrique du Bois Marie 1960–61), Documents

Math´ematiques (Paris) 3, Soci´et´e Math´ematique de France, Paris, 2003.

[Sw] R.G. Swan, Cup products in sheaf cohomology, pure injectives, and a

substitute for projective resolutions, J. Pure Appl. Algebra. 144(1999),

169–211.

[Ta] G¨

unter Tamme. Introduction to ´etale cohomology. Universitext.

Springer-Verlag, Berlin, 1994. Translated from the German by Manfred

Kolster.

[Tu] R. Tuler; On the linking number of a 2-bridge link. Bull. London Math.

Soc. 13(1981), 540–544.

[Ve] E. Verlinde, Fusion rules and modular transformations in 2-D conformal

field theory. Nucl. phys. B300[FS22] (1988), 360-376.

[Wa] M. Wakui, On Dijkgraaf–Witten invariant for 3-manifolds, Osaka J.

Math. 29 (1992), 675–696.

[We] A. Weil, G´en´eralisation des fonctions ab´eliennes, J. Math. Pure Appl.

17 (1938), no.9, 47–87.

[Wi] E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial, Commun.

Math. Phys. 121 (1989), 351-399.

[Ye] D. Yetter, Topological quantum field theories associated to finite groups

and crossed G-sets, J. Knot Theory and its Ramifications. 1 (1992), 1–

20.

87

[Zi] T. Zink, Etale cohomology and duality in number fields. Appendix 2

In: Haberland, Galois cohomology of algebraic number fields, VEB

Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1978.

88

...

参考文献をもっと見る

全国の大学の
卒論・修論・学位論文

一発検索!

この論文の関連論文を見る