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Bounded cohomology of volume-preserving diffeomorphism groups

木村, 満晃 東京大学 DOI:10.15083/0002007137

2023.03.24

概要

審査の結果の要旨
氏 名  木 村 満 晃
木村満晃の博士論文は,可微分多様体の微分同相群の擬準同型写像,有界コホモロジー,
およびその一般化に関わるもので,特に 3 次有界コホモロジーの無限次元性についての新
しい結果を得た.群の有界コホモロジーは Gromov の研究以来,幾何群論における重要な
研究対象となっているが,一般には計算が困難である.群の実数係数有界コホモロジーは 1
次の場合は自明で,2 次有界コホモロジーは擬準同型写像に対応する.論文では主に,実数
係数の 3 次有界コホモロジーについて考察した.
論文は 3 つの主要部分からなる.最初の部分は川崎盛通との共同研究に基づいており,群
作用に関する不変擬準同型写像を扱った.G を群として,H を G の正規部分群とするとき,

H 上の G 不変擬準同型写像について考察した.この状況で,Bavard の双対定理の類似が
成り立つことを示し,G と H の組に関する安定交換子長 (scl)と G 不変擬準同型写像との
関係を与える結果を得た.応用として,種数が 2 以上の閉曲面のシンプレクティック微分同
相群について,フラックス準同型写像とよばれる曲面の 1 次コホモロジーへの写像が切断準
同型を持たないことを示した.
第二部では,完備リーマン多様体 M の微分同相群の 3 次有界コホモロジーについて考察
した.M の体積が有限で,基本群が充分に大きい場合には,Brandenbursky-Marcinkowski
によって,M の微分同相群の 3 次有界コホモロジーが無限次元であることが知られていた.
木村満晃はこの結果を,M の体積が有限でない場合に拡張するために,ノルムによって制
御されたコホモロジーの概念を導入した.論文では,基本群の複雑さに関するある仮定の
下で,必ずしも体積が有限でない完備リーマン多様体 M の微分同相群の 3 次有界コホモロ
ジーが無限次元であることを証明した.
第三部では,曲面の面積保存微分同相群の有界コホモロジーについての研究を行った.

Brandenbursky–Marcinkowski によって,オイラー数が負であるようなコンパクトで向き
付けられた曲面 Σ について,面積保存微分同相群の 3 次有界コホモロジーは無限次元であ
ることが知られていた.論文では,Σ のオイラー数が非負の場合,Gambaudo–Ghys の構
成を一般化して,Σ の組みひも群の有界コホモロジーから,Σ の面積保存微分同相群の有界
コホモロジーへの準同型写像を構成した.さらに,3 次の組みひも群の場合に精密な考察を
行うことにより,オイラー数が非負の Σ について,この写像が単射であることを証明した.
これにより,Brandenbursky–Marcinkowski の結果をオイラー数が非負の場合にも拡張し,
コンパクトで向き付けられた曲面 Σ の面積保存微分同相群の 3 次有界コホモロジーはつね
に無限次元であることを証明した.
本論文は,微分同相群の擬準同型写像および有界コホモロジーについて新しい手法と知見
を与えるものであり,位相幾何学,特に幾何群論の分野に大きく貢献する.よって,論文提
出者木村満晃は,博士 (数理科学) の学位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める.

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