ゼロ回避の条件付けLévy過程の長時間挙動と処罰問題への応用 (確率論シンポジウム)

概要

79

ゼロ回避の条件付け Levy過程の長時間挙動と処罰問題への応用
洛南高等学校武田翔成
ShoseiTakeda
RakunanHighSchool

1 ゼロ回避の条件付けブラウン運動
測度μに関する積分を，

μ[fl=J
fd
μ と表すことにする．

(X = （ ぶ t2 0
)
,l
P
'
1
;
) を ， 呼 (X
。 =x) = 1をみたす 1次元標準ブラウン運動とし，（石， t2 0
)
をその右連続フィルトレーションとする．さらに可測集合 A c恥に対し， A に初めて到達する時刻を

TA=i
n
f
{
t>0
:XtEA}とかき， 1点 aE民に対し， Ta=T
{
a
}とかく．このとき，ブラウン連動に対する

＼
｛O
}
,t20 と，有界な石—可測汎閲数 Ft に対し，
以下の極限定理が知られている： X E匝

。

l
i
m呼 [
F
t
l
T
i >s]= lP'~Bes[Ft]
→O O

(
1
.
1
)

S

が成り立つ．ここで， lP'~Bes は X。=”となる対称化された 3 次元ベッセル過程である．つまり，出＞ 0のと

s
,＋であり， x きは， X。＝ m となる 3次元ベッセル過程呼e
s，ーと考える．（ 1
.
1
)の左辺は，時刻 sまでのゼロ回避の条件付けブラウン運動の極限である
ベッセル過程呼e
ため， lP'~Bes は，ゼロ回避の条件付けブラウン運動 (Brownian m
o
t
i
o
n
sc
o
n
d
i
t
i
o
n
e
dt
oa
v
o
i
dz
e
r
o
) とみるこ
とができる．さらに lP'~Bes は原点死滅過程に対して調和関数となる非負関数，すなわち

呼［h（
ふ
）l
{
T
o
>
t
}
]= h
(
x
)
, t:
:
>0
,xE民

(
1
.
2
)

となる非負関数 h
(
x
)＝国を用いて，

dlP'~BeslF, = ~（ふ） l
F
,
, t>0
{
T
o
>
t
}・
d呼 I
h
(
x
)

(
1
.
3
)

とかけることが知られている (Doobの h変換）．また， nBをブラウン運動に関する 0まわりの周遊測度

(Browniane
x
c
u
r
s
i
o
nme邸 u
r
eawayfromz
e
r
o
) とすると， t→研［ h（ふ） l
{
T
o
>
t
}］は正の定数関数となる．
よってこの定数を C とおくと，

鳴B
e
s伝 ＝ h（
Xt)l
{
T
o
>
t
}・
dn8に
，
C

t>O

(
1
.
4
)

はF
oo上 w
e
l
l
d
e
f
i
n
e
dであり， l
P
'
も
B
e
s も確率測度となる． l
P
'
も
B
e
sは Brownianmeanderの
， 0に戻ってこな
いという条件付け過程のある種の極限として得られる測度でもあるが，詳細は省略する．また， l
P
'も
B
e
s=
拝~es，十＋も呼es, ―となることが知られている．我々は， lP'もBes も含めてゼロ回避の条件付けブラウン連動と

呼ぶここで，ブラウン運動は再帰的 (
r
e
c
u
r
r
e
n
t
)であるが， 3次元ベッセル過程は過渡的 (
t
r
a
n
s
i
e
n
t
)であ

P
'
;
B
e
sは互いに特異 (
s
i
n
g
u
l
a
r
)な測度であることに注意する．
るため，呼と l

80
以上の 1次元ブラウン運動に対する結果は， 1次元 L6vy過程に一般化されている．まず Yano[
1
2
]によっ
て，ガウシアン部分を持たない対称 Levy過程について調べられ， Yano[
1
3
]や P
a
n
t
f[
8
]や Tsukada[
1
1
]に
よって非対称 Levy過程に一般化された．さらに， T
akeda-Yano[
1
0
]によって，より一般的な条件の下でゼ

akeda[
9
] によって，その標本路の挙動が調べられ
ロ回避の条件付け L6vy過程の収束について論じられ， T

]では，標本路の長時間挙動と短時間挙動について調べたが，本稿では，標本路の長時間挙動について
た．［9
述べる．

2 ゼロ回避の条件付け L
e
v
y過程

…

(X= (
X
t
,
t:
;
:
>0
)，巳）を 1次元 Levy過程とする． t:
;
:
>0に対し， F{= a
(Xs,S:
S
:t
)とし，巧＝ ns>tFf
Ft) とする． l
l
"
o
[
e込 x
,
]= e加（入）で定義される

を右連続フィルトレーションとする．さらに Foo=a
(LJ

Levy-Khinchine指数ゆ（入）は，定数 VE艮，び:;;,0と叫 1＾
呼
］ ＜ 00 かつ v
(
{
O
}
)= 0をみたす恥上の測度
V(
L
e
v
y測度という）が存在して，
心
（
入
）

L

＝ーiv入—； a2.>.2 +

(
e
i入のー 1-i心 l
{
l
x
l
<
l
}
)
v
(
d
x
)，

入€艮

(
2
.
1
)

と表せることは有名である．ここで，況はガウシアン部分である．本稿では以下を仮定する．
仮定．（X
,
I
P
'
o
)は再帰的 (
r
e
c
u
r
r
e
n
t
)すなわち，任意の J
t>0に対し，

。
[
1
0
0l{IX,1<8}dt]= oo,

I
P
'

8>0
.

(
2
.
2
)

゜

が成立し，かつ任意の q>Oに対し，

l
O
Oq -1
心（入）心く

(
2
.
3
)

00

も成り立つ．

.
3
)の下では再帰的であることと，点再帰的 (
p
o
i
n
tr
e
c
u
r
r
e
n
t
)であ
B
e
r
t
o
i
n[
1
,E
x
e
r
c
i
s
eI
I
.
4
]によると，（ 2
P
'
o
(
T
aく o
o
)= 1が成り立つことを指す．この仮
ることは同値である．点再帰的とは，任意の aE股に対し， I
定の下では，以下の各条件が成り立つことが知られている．

(
i
)(
X
,
I
P
'
o
)は複合ポアソン過程 (compoundP
o
i
s
s
o
np
r
o
c
e
s
s
)ではない．

。

(
i
i
) 原点正則 (
r
e
g
u
l
a
rf
o
ri
t
s
e
l
f
)である．すなわち，齢 (T =0)= 1が成り立つ．
(
i
i
i
)v
[
lA l
x
l
]= o
o
.
(
i
v
) q>0

に対し，以下をみたす q—レゾルベント密度 (q-resolvent

測関数 fに対し，

d
e
n
s
i
t
y
)r
qが存在する：任意の非負可

0

。

J
I
l
l
.
f
(
x
)叫 ） dx=
l
P
' [looe
―q
tf（ふ） dt]
さらに r
qは良上有界かつ連続

1
(
v
) l
i
i
m
,
,
,
-=0.
q
→0+r
q
(
O
)

(
2
.
4
)

81
これらについては， B
e
r
t
o
i
n[
1
]や Kyprianou[
7
]を参照されたい．ここで，関数 hを

h
(
x
)=

Ii~.
{rq(-x)-rq(O)},
→o+

(
2
.
5
)

xEJ
R

q

で定める．これが収束するかどうかは自明でないが，［ 1
0
,Theorem1
.
1
]によると収束する．この hを修正零

レゾルベント (
r
e
n
o
r
m
a
l
i
z
e
dz
e
r
or
e
s
o
l
v
e
n
t
) という．さらに m2を
研＝I
P
'
o
[
X
i
]=庄＋

J

(
2
.
6
)

凸 (
d
x
)E (
0
,o
o
]

R

と定める．ー 1S1S1に対し，

炉 (
x
)= h
(
x
)+~x,

(
2
.
7
)

xE政

とする．このとき [
1
0
]によると， h（'Y）20である． L= (
L
i
,
t:
:
=
>0
)を 0における局所時間 (
l
o
c
a
lt
i
m
e
) とす
る．このとき，

[
l
o
oe―qtdLi]=rq(-x),
00

l
l
"
x

q>0
,xE 恥

(
2
.
8
)

をみたす．さらに， r
し
を 0まわりの周遊測度 (
e
x
c
u
r
s
i
o
nm
e
a
s
u
r
e
) とする．

[
1
0
,Theorem8
.
1
]によると， h
(
T
)は原点死滅過程に対して非負調和関数となる．
定理 2
.
1(
[
1
0
,Theorem8
.
1
]
)
. -1<
:
'
.1<
:
'
.1
, xEI
Rとする．このとき，

l
l
"
x
[
h叫ふ） l
{
T
o
>
t
}
]=h
h
l
(
x
)
, n
[
h叫ふ） l
{
T
o
>
t
}
]= 1
, t>0
.

(
2
.
9
)

-1<
:
:
:
'
Y<
:
:1に対して， 1
1
,
h
)={
xE股
： hり
）
（x
)>O}と 社 炉 ＝ 1
1
,
h
)U{O}を定義する．このとき， H炉

は股，［O
,
o
o
)
,(
o
o
,
O
]のいずれかになる．定理 2
.
1により，（ 1
.
3
)や（ 1
.
4
)と同様に， Doobの h変換によっ
て新たな確率測度を定義することができる．

応
｛

鴫叫＝

灼 (
X
t
)
(
x
)1
{
T
o
>
t
}• d
l
P
'
x
￨
m

X

砂（ふ） l
{
T
o
>
t
}・
d
n
￨巧

x=Oのとき

E砂）のとき，

(
2
.
1
0
)

とすると，定理 2.1 から，叫し7) に 1 ェ＝ p~"I) に， 0
。

は F 上で定義できる．ここで任意の t> 0に対し，定義から酌し7)（
T >t)= 1である．したがって，

臼

。

。

(T =oo)= 1となり，（ X,『
し7)) は 0に到達することはない．一方で見x(T
J
PX と p炉 は 左c 上特異 (
s
i
n
g
u
l
a
r
)である．以下では， eを独立で平均 1の指数分布とし， q> 0に対し
e
q=e/qとする．
.
2(
[
1
0
,C
o
r
o
l
l
a
r
y8
.
2
]）．このとき， t:
:
>
_0 と有界な瓦—可測汎関数凡に対し，以下が成立する．
定理 2
(
i
)l
i
m 『ェ [
F
t
l
T
i
。>叫＝昆D)[
F
t
]
, xE1-l(O);
q→o
+

。

ao

(
i
i
) l
i
r
p
. 巳[
F
t
l
T
i >Ta]=1P'1土 l)[Ftl,
→土

（
箪
）

l
i
m

。

和 Ft￨T >T{a,-b}]＝ 略 叫Fか ー 1:
<
:
:
;
'
Y:
<
:
;1
,X E砂）．

a→o
o
,b→o
o
,

旱→9

尤€ H（
士1
)
;

82
また， l
P
'
炉 は Levymeanderの 0に戻ってこないという条件付け過程のランダム時計に沿うある種の極限

P
'
炉は，ゼロ回避の条件付け Levy過程 (
L
e
v
yp
r
o
c
e
s
s
e
s
として得られる測度でもあるが，詳細は省略する． l
c
o
n
d
i
t
i
o
n
e
dt
oa
v
o
i
dz
e
r
o
) と呼ばれる．
極限（ 1
.
1
)では定数時刻 sの極限を考えたが，ここではランダムな時刻 eq,Ta,T{a,-b} の有向族の極限
を考えている．ランダムな時刻の有向族をランダム時計 (
randomc
l
o
c
k
) という．このランダム時計の手法
はさまざまな先行研究がある． K
night[
6
]はブラウン運動に， Chaumont[
2
]や Chaumont-Doney[
3
,4
]
や Doney[
5
,7
]は正滞在の条件付け L6vy過程 (
L
e
v
yp
r
o
c
e
s
s
e
sc
o
n
d
i
t
i
o
n
e
dt
os
t
a
yp
o
s
i
t
i
v
e
)に
， Yano-

a
n
t
i[
8
]は本研究より強い条件の下，ゼロ回避の条件付け L6vy過程の研究に用い
Yano[
1
4
]は拡散過程に， P
ている．

3 長時間挙動の結果
確率過程 (X
，臼）の長時間挙動について述べるため，
00},

••

叫 ＝ ｛ 凰 ふ ＝ ー 00},

m
-｛
l
i
巴
閃pXt

ヽー、、ー＇、ー，
1
23

333
(
︵(

Qこ ＝ ｛ 畠 ふ ＝

毘
翌fXt= o
・}

= -I
i

＝

と定義する．（ X
,
l
P
'
x
)は再帰的と仮定したから， l
P
'
ェ
(
{
}
よ
―
)＝ 1である．

.
1(
[
9
]
)
. -1<
:
'
.1<
:
'
.1に対し，
定理 3
(9い い 心 ） ＝ 町 （ 凰 幻 ＝

町
が成り立つ．さらに州＜

o
o
)=1

(
3
.
4
)

oとすると，

口
｛

1
)h
;：；）｀）

庁（叩＝

X

E研）のとき，

昆9)（は'― )=0

(
3
.
5
)

x=Oのとき，

2

が成り立つ．

定理 3.1 より，（X,lP'~')) は過渡的 (transient) であることが分かる．

4 長時間挙動の結果の処罰問題への応用
ゼロ回避の条件付け L6vy過程の問題を一般化したものとして，処罰問閣がある．処罰問匙に，定理 3
.
1を
応用しよう．
本節では， L6vy過程 (X
，馬）が推移密度 (
t
r
a
n
s
i
t
i
o
nd
e
n
s
i
t
y
)Pt(•) を持つとする． XE 1
￡
h
)に対し，測度

P
i
7
)を

f
00

叩＝

l
P
'
x
[
d
L』 咤
，o・
埒 ＋ h叫x)JP'~,)

゜

（）

(
4
.
1
)

83

。

と定義する．ただし， l
1
'
，
む0 は X =x,Xu= 0となる Levybridge とし，•は連結 (concatenation) とし，

l
l
'
x
[
d
L
,
,
]＝ 四 (-x)duとした． P
i
7
)は一般には確率測度でないことに注意する．/:[
O
,
o
o
)→ [
O
,o
o
)を
，
00

0 (
O
)+1 =f(u)du o

(
4
.
2
)

゜

をみたす関数とする．ー 1
:S,y:Slに対して，確率測度 Qけ f
)を

Q
i
T
,
f
)＝

/
(
L
o
o
)
/
(
L
o
o
)
]
p炉[

・
P
l
'
!
)

(
4
.
3
)

と定義すると，以下の条件付き期待値の極限定理が成立する．
定理 4
.
1(
[
1
0
,Theorem8
.
3
]
)
. -1:
S
,
y:
S1とし， X E11,h) とする．このとき，有界な石—可測汎関数 Ft に
ついて，以下が成立する．

叩 Fif(Leq)]
=Qし
°
,
f
)［
恥
］
；
(
i
)l
i
m
q→O
+l
P
'
x
[
f
(
L

］
い

巳[
F
t
f
(
L
r
:
』
]= Q土
しl
,
f
)
[
F
t
]
i
lm
(
i
i
} I
i
a→士 o
ol
P
'
x
[
f
(
L
T
』
]
(
i
i
i
}

)
)
]
1
P
'
x
[
F
t
f
(
L乃a, b
=Q
i
9
,
f
)
[
F
ふ ー 1こ？こ 1
.
l
i
r
p
.
→00b,b→o
o
,巳
［J
(
L
r
{
a
,
b
)
)
]
てコ→ 9

a

a

f= l
{
u
=
O
} とすると， f(
L
t
)= l
{
T
o
>
t
}であるため，これはゼロ回避の条件付け Levy過程となる．した
.
1は定理 2
.
2の一般化といえる．定理 4
.
1のような極限を考えることを処罰問題 (
p
e
n
a
l
i
z
a
t
i
o
n
)
がって，定理 4
という．処罰問題に定理 3
.
1を適用することで，以下が直ちに分かる．

.
2
. -1<
:
:r
y<
:
: 1とし，
定理 4

X €

Hり）とする．このとき， p
i
T
)｛
（l
i
r
n
t→o
o
l
X
t
l=(X)｝
C
)＝ 0であるから，

0 (
O
)+i
f
°
'
;
。 f(u)du<(X)をみたす f:[
O
,
(
X
)）→ [
O
,
(
X
)）に対し， Qし
ァ
，f
（
）l
i
m
t→o
o
l
X
i
l=(X)）＝ 1となる．
さ ら に 厨 <(
X
)とすると， piT)(9ょ
'
―
)＝0 であるから， QしT,f)(Oよ Ufl~) = 1が成り立つ．

参考文献
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0
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0
0
5
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.Probab.10(
2
0
0
5
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.2
8
,9
4
8
9
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