Brauer-friendly加群とslash関手の性質について (有限群のコホモロジー論とその周辺)

概要

67

B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y加群と s
l
a
s
h関手の性質について
東京理科大学大学院・理学研究科渡辺将一
NobukatsuWatanabe
Departmento
fMathematics,
TokyoU
n
i
v
e
r
s
i
t
yo
fS
c
i
e
n
c
e

1 イントロダクション
本稿では [
1
2
]の研究内容を基にしている．そのため各補題の証明などの詳細に関しては [
1
2
]を
参照してください
本稿では次の設定を用いる． pを素数として，（ K,O,k)を Kが代数的閉体である p
m
o
d
u
l
a
r

s
y
s
t
e
mとする（ここで， O=kの場合も含める）．このとき，自然な全射 OG→ kGの xEOGの
像を豆により表す．また，べき等元の持ち上げ可能定理により，各原始べき等元 iE kGに対して，

OGのある原始べき等元 xで元＝ iを満たすものが存在するので，この原始べき等元 xを記号ニ
を用いて

i=X のように表すとする以下，任意の環上の加群は特に断らない限り

0 上自由で有

限生成な左加群とする．
次に本研究の背景を説明する．有限群のモジュラー表現論における一つの大きな指針を標語的
に「与えられた有限群の標数 p>Oの体上の表現は，その p-局所部分群の表現により統制されて
いるのではないか？」ということが出来る．ここで， p-局所部分群とは p-部分群の正規化群や中心
化群のことをいうこの局所ー大域原理の定式化された予想の一つとして次の B
r
o
u
e予想がある．

B
r
o
u
e予想）． G を有限群， bを不足群 Pをもつ OGのブロック， eを bの B
r
a
u
e
r対応子で
予想 (
ある ONG(P)のブロックとするもし Pが可換群ならば， 0Gbと ONa(P)cは導来同値である．

r
o
u
e予想は有限群のモジュラー表現論において最も興味のもたれている問題の一つであ
この B
り，今までに多くの研究者によって様々な研究がなされてきた．予想が成り立つことが示されてい
る多くの場合において，奥山哲郎氏により [
1
1
]において導入された奥山メソッドが用いられてい

r
o
u
e予想の解決には森田型安定同値の構成が甫要であることが示
る．この奥山メソッドにより， B
された．このことから，森田型安定同値の構成に関して主ブロックの場合と，一般のブロックの場
合の概要をそれぞれ見ていく．
まず，主ブロックの場合を見ていく． bを OGの主ブロックとする．この場合に M.B
r
o
u
eが

B
r
o
u
eの貼り合わせの原理と呼ばれる森田型安定同値の構成法を導入した．その中で重要な加群
である S
c
o
t
t加群を定義する．

68
定義 1
.
1(
S
c
o
t
t加群）． G の部分群 H に対して， I
n
d
り(OH)の直既約因子のうち 0Gと同型な部
分加群を持つものが唯一存在する．この加群を G の H に関する S
c
o
t
tOG-加群と呼び， S(G,H)
と表す．
次が B
roueの貼り合わせの原理である．

.
2(
B
r
o
u
eの貼り合わせの原理 [
4
,6
.
3
.T
h
e
o
r
e
m
]
)
. G と H を Fp(G)=Fp(H)を満たす
定理 1
共通の S
ylowp—部分群 P を持つ有限群， b と c をそれぞれ OG と OH の主ブロックとする．この
とき， P の各部分群 Q に対して，如と CQをそれぞれ kC
瓜Q)と kCH(Q)の主ブロックとする．

M=S(GxH，
△ P)とする．このとき，以下の条件は同値である．
(
i
) M とその双対加群 M*により 0Gbと OHcの間の森田型安定同値が誘導される．
(
i
i
)各 1
=
/Q :
<
: p に対して， Br△Q(M) とその双対加群 Br
△Q
(M*)により kC
瓜Q)如 と
kC
瓜 Q)cQの間の森田同値が誘導される．
r
a
u
e
rc
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
nである．
ここで， Brは後で定義される B
Broueの貼り合わせの原理を適用するためには， K
e
s
s
a
r
-Ku
n
u
g
i
-M
i
t
s
u
h
a
s
h
i[
8
]において導入さ
れた次の B
r
a
u
e
r直既約性が重要な役割を果たす．

.
3(
B
r
a
u
e
r直 既 約 性 [
8
]
)
. M を OG-加群とする．
定義 1

G の各 p-部分群 Q に対して

認窃贔 (BrQ(M)）が直既約または 0となるとき， M は Brauer直既約であるという．

Res

S
c
o
t
t加群に対する B
r
a
u
e
r直既約性の同値条件は I
s
h
i
o
k
a
K
u
n
u
g
i
[
6
,Theorem1
.
3
]により次
の様に与えられた

.
4(
[
6
,Theorem1
.
3
]
)
. G を有限群， P を G の p-部分群， M = S(G,P) とする． F =
定理 1
Fp(G)が s
a
t
u
r
a
t
e
dであると仮定する．このとき，次の条件は同値である．
(
i
)M は B
r
a
u
e
r直既約である．
(
i
i
) p の各 f
u
l
l
yF-normalized 部分群 Q に対して， Res~悶協 (S(Nc(Q),Np(Q) ））は直既約
である．

u
l
l
yF
n
o
r
m
a
l
i
z
e
d部分群 Q に対して次の同型が成
もしこれらの条件が成り立つならば， P の各 f
り立つ．

BrQ(M)竺 S(N
瓜Q),Np(Q)).
次に主ブロックの場合に見てきたことを一般のブロックの場合に見ていく． bを OGのブロッ
クとする． M.L
i
n
c
k
e
l
m
a
n
nは Broueの貼り合わせの原理を一般のブロックに対して次の様に一
般化した
定理 1
.
5(
L
i
n
c
k
e
l
m
a
n
nの貼り合わせの原理 [
9
,Theorem1
.
2
]
)
. G と H を有限群， bと cを
それぞれ OG と O Hの共通の不足群 P を持つブロック， iE (0Gb)△P と j E (OHc)△P
をa
l
m
o
s
ts
o
u
r
c
ei
d
e
m
p
o
t
e
n
t とする．各 P の部分群 Q に対して， eQ と fQによりそれぞれ

69
Br△Q
(
i
)
e
Q=
I0 と Br△Q(j)JQ =
I0 を満たす kC瓜Q) と kC瓜Q)のブロックとする．また，
切 と ん に よ り そ れ ぞ れ eQ と JQの一意的な持ち上げを表すとする． F =F
(
P
,
e
p
)
(
G
,
b
)と
し
， r(P
，ぃ (
G
,
b
)＝
巧p,jp)（H,C)を仮定する． V を vertexP を 持 つ 界stable直既約 endo加群とし 0△P 加群と見る． M を OGb-OHc両側加群
p
e
r
m
u
t
a
t
i
o
nOP

0Gi0oplnd岱t(V)0opj0H
の直既約因子とする． M は v
e
r
t
e
x△P を持つと仮定するこのとき， P の各非自明な部分群 Q に

対して， Endk(MQ)~Br△Q(Endo （切 Mん））を満たす kC瓜 Q)eQ-kC爪 Q) ぬ—加群 MQ が存在
する．さらに，もし P の各非自明な部分群 Q に対して両側加群 MQが kCc(Q)eQと kC
叫 Q)JQ
の間の森田同値を誘導するならば， M とその双対加群 M*は 0Gbと OHcの間の森田型安定同
値を誘導する．

L
i
n
c
k
e
l
m
a
n
nの貼り合わせの原理に出てくる各 MQは E
.B
i
l
a
n
dが定義した B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y
加群と呼ばれる (
e
n
d
o
)
p
p
e
r
m
u
t
a
t
i
o
n加群を一般化した加群である．また， E
.B
i
l
a
n
dは B
r
a
u
e
r
関手の一般化として s
l
a
s
h関手 S
lというものを定義していて， L
i
n
c
k
e
l
m
a
n
nの貼り合わせの原理

に出てくる各 MQ はある（△Q,eQ® ん）—slash 関手を用いて Sl（△Q,e吟fQ)(M) と表すことが出
来る．このことから， B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y加群に対しても B
r
a
u
e
r直既約性と同様に s
l
a
s
h直既約性が
定義でき，さらに B
roueの貼り合わせの原理において B
r
a
u
e
r直既約性が重要であったのと同じ様
に
， s
l
a
s
h直既約性は L
i
n
c
k
e
l
m
a
n
nの貼り合わせの原理において軍要な役割を果たす．そのため本
稿の主結果では， I
s
h
i
o
k
a
-Ku
n
u
g
iにより与えられた S
c
o
t
t加群に対する B
r
a
u
e
r直既約性の同値
条件を B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y加群に対する s
l
a
s
h直既約性の同値条件へと一般化する．

2 記号と用語の導入
この節では， B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y加群や s
l
a
s
h関手の定義やそれらを定義するために必要な用語を
定義する．以下， G を有限群とする．
まず， G に関する s
u
b
p
a
i
r(
P
,b
p
)とは， G の p
-部分群 P と OCc(P)のブロック bpのペアの
ことである． bを OGのブロックとするとき， G に関する s
u
b
p
a
i
r(
P
,b
p
)が (
G
,b
)
s
u
b
p
a
i
rであ
るとは，恥 b
r
p
(
b
)
=
I
=〇を満たすことをいう．ブロック bpは Cc(P):
'
S
:H
'
.
S
:Nc(P,b
p
)を満たす
部分群 H の群環 O Hのブロックでもある．
OG—加群 M と H

表す．

:
SG に対して， M Hにより H の元の作用により不変な M の元全体を

また，トレース写像 Trり
： M H→M Gを Trり(m)=

L tmにより定める．以下，

tEG/H

Nc(H)=Nc(H)/Hとする．
.
1(
B
r
a
u
e
rc
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
n
,B
r
a
u
e
r morphism, B
r
a
u
e
r 関手）． P を G の p
-部分群，
定義 2

M を OG-加群とする．

Brp(M)

= M り(LTr名(MQ)+J(O)Mり に よ り k況 (P)Q
加 群 で あ る M の P による B
r
a
u
e
rc
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
n を定める．

これにより定まる関手

Brp :oaMod → K応 (P)Mod;M → Brp(M)を B
r
a
u
e
r関 手 と い う

また，自然な全射

70
brp :M P → Brp(M)を M の P による B
r
a
u
e
rmorphismという． さらに (
G
,b
)
s
u
b
p
a
i
r
(
P
,b
p
)に対して， B
r
(
P
,
b
p
)
(
M
)= Brp(bpM)により K
況 (P,bp)砧加群である M の (P,bp)に
よる B
r
a
u
e
rc
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
nを定める．これにより次の関手が定まる．

B
r
(
P
,
b
p
)
:oGbMod→k況 (
P
,
b
p
)
b
p
M
o
d
.
gEG に対して，

Cg により

gによる共役写像を表すとする．

定義 2
.
2 （ブロックの f
u
s
i
o
ns
y
s
t
e
m
)
. bを O Gのブロック，（ P,bp)を (
G
,b
)
s
u
b
p
a
i
rとする．

,
b
p
)
(
G
,b
)を次のような対象と射をもつ圏として定める．この r を (
G
,
b
)の
このとき， r =巧P
(
P
,
b
p
)における f
u
s
i
o
nsystemという．
・対象： P の部分群．
・射： （Q,b砂 (R ，加）~ (
P
,
b
p
)に対して，

HomF(Q,R)= {
c
9
:Q →RIョ
gEG,9(Q 的）~ (
R,b
叫
｝
．
次の v
e
r
t
e
xs
u
b
p
a
i
rと s
o
u
r
c
et
r
i
p
l
eは v
e
r
t
e
xと s
o
u
r
c
eをより精密にした概念である．
定義 2
.
3(
v
e
r
t
e
xs
u
b
p
a
i
r
,s
o
u
r
c
et
r
i
p
l
e
,[
2
,D
e
f
i
n
i
t
i
o
n2
]
)
. M を直既約 OGb-加群とする．

・ Mの v
e
r
t
e
xs
u
b
p
a
i
rが (
P
,
b
p
)であるとは，（ P,bp)が (
G
,b
)
s
u
b
p
a
i
rで
， P=avtx(M)で，あ
る直既約 OP—加群 V により M

I
bOGbp0opV が成り立つことをいう．

・Vが M の v
e
r
t
e
xs
u
b
p
a
i
r(
P
,b
p
)に関する s
o
u
r
c
eであるとは， V が M I
bOGbp0opV を満
たす直既約 OP—加群のことをいう．

・(
P
,
b
p
,V)が M の s
o
u
r
c
et
r
i
p
l
eであるとは， V が M の v
e
r
t
e
xs
u
b
p
a
i
r(
P
,b
p
)に関する s
o
u
r
c
e
であるときをいう．

s
o
u
r
c
et
r
i
p
l
eに関する Green対応を次のように考えることが出来る．

.
4(
[
2
,Lemma1
,D
e
f
i
n
i
t
i
o
n2
]
)
.(
P
,b
p
)を (
G
,b
)
s
u
b
p
a
i
rす る も し M が s
o
u
r
c
et
r
i
p
l
e
定理 2
(
P
,
b
p
,V) をもつ直既約 0Gb—加群ならば， bpM の ONa(P,bp)—直既約因子 fん (M) で唯一
s
o
u
r
c
et
r
i
p
l
e(
P
,b
p
,V)をもつものが存在する．このとき， ftは s
o
u
r
c
et
r
i
p
l
e(
P
,b
p
,V)をもつ
直既約 OGb加群の同型類全体から s
o
u
r
c
et
r
i
p
l
e(
P
,b
p
,V) をもつ直既約 ONa(P,bp)bp —加群の
同型類全体への全単射を与える．この f
t
pを s
o
u
r
c
et
r
i
p
l
e
(
P
,b
p
)に関する Green対応と呼ぶ．

B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y加群は次に定義する F
s
t
a
b
l
ee
n
d
o
p
e
r
m
u
t
a
t
i
o
n加群を s
o
u
r
c
eに持つ．
.
5(
F
s
t
a
b
l
e
)
. bを OGのブロック，（ P,bp)を (
G
,b
)
s
u
b
p
a
i
r
,V を e
n
d
o
p
e
r
m
u
t
a
t
i
o
n
定義 2
加群， r =巧P
,
b
p
)
(
G
,b
)とする．
OP

・Vが F
s
t
a
b
l
eであるとは，任意の Q さ P と任意の c
9
,EHomF(Q,P)に対して Re
喝(V)E
l
l
Res8
叩 V)が endo-permutationOQ加群であるときをいう．
・(
P
,
b
p
,V)が f
u
s
i
o
n
s
t
a
b
l
ee
n
d
o
p
e
r
m
u
t
a
t
i
o
ns
o
u
r
c
et
r
i
p
l
eとは， V が F
s
t
a
b
l
eかつ直既約
e
n
d
o
p
e
r
m
u
t
a
t
i
o
nOP—加群で

vertex

P をもつときをいう．

71
定義 2
.
6(
s
o
u
r
c
et
r
i
p
l
eに対する c
o
m
p
a
t
i
b
i
l
i
t
y
)
.(
P
i
,bp
，ぷ）を巧 P
,
,
b
i
)(
G
,b
)
s
t
a
b
l
ee
n
d
o
-

p
e
r
m
u
t
a
t
i
o
ns
o
u
r
c
et
r
i
p
l
e
(
i= {
1
,2
}）とする．
・(
P
1
,
b
p
1
9い）と (
P
2
,bA,%）が c
o
m
p
a
t
i
b
l
eであるとは，任意の (
G
,b
)
s
u
b
p
a
i
r(Q，如）と任意の
Cg, EH
o
m
B
r
(
G
,
b
)
(
(
Q必），（ P
i
,
b
P
,
)）に対して

R
e
s
c
9
1(
V
i
)① R
e
s
c
9
2（怜）が e
n
d
o
p
e
r
m
u
t
a
t
i
o
n加

r(G,b
)は B
r
a
u
e
r圏である．
群であることである．ここで， B
次が B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y加群の定義である．

.7 (
B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y加 群 [
2
,D
e
f
i
n
i
t
i
o
n8
]
)
.M を O
G
b
-加群， M の 直 既 約 分 解
定義 2

M = 〶 XI において各 xi は source t
r
i
p
l
e(
P
i
,b
p
,
,V
,
,）をもつとする．
l
S
i
S
n
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
yO
G
b
-加群であるとは，（ P
i
,b
p
,
,V
,
,
) が 巧P
;
,
b
p
,
)(
G
,b
)
s
t
a
b
l
ee
n
d
o
・ Mが B
p
e
r
m
u
t
a
t
i
o
ns
o
u
r
c
et
r
i
p
l
e
(
i= {
1
,…
， n}）で，（ P
i
,
b
P
,
,v
;
)と (
P
j
,
b
P
j
,V
J
)が compatible(vi
,jE

{
1
,…,n
}）であるときをいう．
定義 2
.
8(
B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y加群に対する c
o
m
p
a
t
i
b
i
l
i
t
y
)
.B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
yO
G
b
-加群 L,Mに対
して， L① M が B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
yO
G
b
-加群となるとき， L と M は c
o
m
p
a
t
i
b
l
eであるという．

.
9(
s
l
a
s
h関手 [
2
,D
e
f
i
n
i
t
i
o
n1
4
]
)
. bを OGのブロック，（P,bp)を (
G
,b
)
s
u
b
p
a
i
r
,oGbM
定義 2
を ocbModの部分圏 (
P
,
b
p
)を (
G
,b
)
s
u
b
p
a
i
r
,PCc(P) <
:H

<
:Nc(P,bp)，万＝ H/Pと

する．（加法）関手 S
l:ocbM→K祁 PModが以下のデータによって定まっているとき， S
lを

(
P
,b
p
)
s
l
a
s
h閲手という．

•各 L,MEoGbM に対して，ある写像

szL,M:
Homop(L,M)→ Homk(Sl(L),Sl(M))
で次の条件を満たすものが存在する．
ー 各 M EocbMに対して， SzM,M(
l
E
n
d
o
(
M
)
)= l
E
n
d
k
(
S
l
(
M
)
)
;
ー 各 L,M,NE ocbM，各

fE Homop(L,M)，各 g E Homop(M,N) に対して，

s
z
L
,
N(gof
)= szM,N(
g
)oszL,M(
f
)
;
ー 各 L,MEOGbMに対して，ある k(Cc(P)x仰 (P
）
）
△ H-同型

h,M:Br△p(Homo(bpL,bpM)))=
+Homk(Sl(L),Sl(M))
で次の図式を可換にするものが存在する．

s
z
L
,
M

Homop(L,M)

三三 ／

b
r

Homk(Sl(L),Sl(M))

Br△p(Homo(bpL,bpM)))

r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y圏に対して
S
l
a
s
h関手はどんな圏に対しても存在する訳ではなく，次のような B
は存在することが知られている．

72
定義 2
.10(
B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y圏 [
2
,D
e
f
i
n
i
t
i
o
n1
5
]
)
. ocbMを ocbModの部分圏とする． 0GbM
がB
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y圏とは，任意の L,ME ocbMに対して， L と M は c
o
m
p
a
t
i
b
l
eな B
r
a
u
e
r
-

f
r
i
e
n
d
l
yOGb-加群であるときをいう．
例．すべての p
p
e
r
m
u
t
a
t
i
o
nOGb-加群の圏を OGbPermとすると，これは B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y圏に
なっている．
定理 2
.
1
1(
[
2
,Theorem1
8
]
)
. bを OGのブロック， OGbMを ocbModの B
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y部分

圏 (
P
,
b
p
)を (
G
,b
)
s
u
b
p
a
i
r
,PCc(P)さ H さ 況 (
P
,
b
p
)，万＝ H/P，
で瓜P)= P仰 (P)/Pと
する．このとき，以下のことが成り立つ．

(
i
)(
P
,b
p
)
s
l
a
s
h関手 S
l
(
P
,
e
p
):oGbM→

叩PModが存在する．

(
i
i
)S
l
(
P
,
b
p
)
P
,
b
p
)
s
l
a
s
h関手とすると，ある線形指標
(
P
,
b
p
)=ocbM → 誼 和 Mod を (
*
s
z
(
P
,
b
p
)竺 S
l
(
P
,
b
p
)が成り立つ．
x:H/Cc(P)→KXにより関手としての同型 x
r
a
u
e
r
f
r
i
e
n
d
l
y圏の例である OGbPermに対しては s
l
a
s
h関手は Brauer関手
例．上で考えた B
（の線形指標倍）である．
定義 2
.12 (
s
l
a
s
h直 既 約 性 [
5
,D
e
f
i
n
i
t
i
o
n5
.
1
]
)
. ...