非線形拡散による解の特異性 (偏微分方程式の幾何的様相)

概要

57

非線形拡散による解の特異性＊
東京大学大学院数理科学研究科 t 柳 田 英 二

E
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jiYanagida
GraduateS
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h
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v
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fTokyo

本稿は，放物型偏微分方程式に対する特異性を保持する解についての
報告である．拡散を伴う系において特異性を保持するための主なメカニ
ズムとしては

(
i
) 外部からのエネルギーの注入 [
4
,
5
,
8
]
(
i
i
) 特異性を持つポテンシャル項 [
1
,
6
,
1
0
]
(
i
i
i
) 優線形の反応項 [
2
]

(
i
v
) 特異点近傍での遅い拡散 [
3
,
7
,
9
]
が考えられるが， これまでの研究によってそれぞれに対して詳しい解析
i
v
)に関
が行われ，顕著な性質が徐々に明らかになってきた． ここでは (
し，特に空間 1次元の場合における最近の進展について解説する．
(
i
v
)のようなメカニズムを内包する方程式として，具体的には非線形拡
散を伴う方程式
叫 ＝ △um
を考える． この方程式は m =1のときは通常の熱方程式であり， m >1
のときは透過媒質方程式と呼ばれる． 0 a
s
td
i
f
f
u
s
i
o
n
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q
u
a
t
i
o
nと呼ばれることが多いが，その理由は解 uが小さいとところで
は拡散の効果が極めて強くなるからである．逆に解の特異点（解が無限
°
〒 1
5
3
8
9
1
4東京都目黒区駒場 3-8-1

58
大に発散する点）の近傍では拡散の効果が小さくなって特異性が崩れに
くくなることから，空間次元やパラメータの値によっていろいろなタイ
プの特異性が現れる [
3
,
7
,
9
]
.
以下では，空間 1次元として 0 (
x
,t
)が X >~(t) に対して定義され， X =~(t) で特異
える．方程式の解 u
性を持つ，すなわち

l
i
l
l
l
_u
(
x
,t
)=o
o
,

tE罠
，

x↓C
(
t
)

であると仮定しよう．ただし特異点 (
(
t
)は一般に tに滑らかに依存する
関数である．この場合，

切＝（砂） xx,

XE (
f
,(
t
)
,0
0
)
,

(
1
)

を考えることになる． e
(
t
)が定数の場合は定在特異点と呼ばれ，このよ
うな特異点を持つ解の例としては

u
(
x
,
t
)＝ {2m(1+m),

t }1-lm

(
x-(
)
2J

1-m

(
x
,t
)E(~, o
o
)x(
0
,o
o
)
,

'

がある・ (
(
t
)が tに依存して変化する場合には移動特異点と呼ぶ．具体例
としては特異進行波解

u
(
x
,t
)=h
(
c
)
(
x-c
t
)―d
m
,

x
E
(
c
t
,
o
o
)
,tE艮
．

がある．ただし c>Oとし，

｛
＝
：（1-mm)e}

h
(
c
)

1-lm

である．
より一般の特異解を扱うために，初期値間題

{:＝（砂） XX9
u
(
x
,
O
)=u。
は
）
，

>E
;
,
(
t
)
,t>0
,
X >f
,
(
O
)
,
X

(
2
)

を考える． ここで初期値 u
o
(
x
)は xE(~(O), o
o
)について非負かつ連続で
2
)の解が以下の性質を持つとき，これを特
あると仮定する．初期値問題 (
異解という．

59
(
S
1
)u
(
x
,t
)は X E(
t
(
t
)
,0
0
)についてび級， tE (
0
,T
)についてび級．
(
S
2
) 各 t>Oに対して u
(
x
,t
)→o
o(
x↓t
(
t
)
)
.
{
S
3
)(
t
(
O
)
,o
o
)内の任意の xの閉区間において u
(
x
,t
)→u
0
(
x
)(
t↓0
)
.
特異解の存在を示すための一つの方法は，各 n E Nに対し，カットオ
フされた初期値とディリクレ境界条件に対する次の間題の有界な解を考
えることである．

三
｛
□
□

:
{
U
o
(
x
)
,
n
}
, :t0))t>0
,

(
3
)

すると｛叫｝は各 X >t
(
t
)とt>Oにおいて nについて単調増加な列であ
nは (
2
)の解の近似となる． もし｛叫｝が n→O
O
，
り nが十分大きければ， U
のとき (
2
)の解に収束するとき，この解を最小特異解という．実際，もし
他の特異解が存在すれば，これは最小特異解より必ず大きい．
以下では，文献 [
1
1
]において示された結果の概略についてまとめる．ま
ず
， t
(
t
)が非減少の場合の特異解の存在について次の定理が成り立つ．
定理 1
.t
(
t
)が tE [
O
,
T
)について非減少ならば，（2
)は tE [
O
,
T
)に対し
て少なくとも 1つの特異解が存在する．
逆に t
(
t
)が左方向に動くときには， burningcore (n→o
oのとき｛叫｝
が発散するような領域）が現れる．

.tE(
0
,T
)に対して t
(
t
) (
O
)であると仮定する．このとき (
3
)
定理 2
の解の列{%}は以下の性質を持つ．
(
i
)各 tE (
0
,T
)に対し，（t
(
t
)
,
t
(
O
)）内の任意の閉区間において一様に
叫(
x
,t
)→o
o(
n→o
o
)が成り立つ．
(
i
i
) 各 tE (
0
,T
)に対し，（t
(
O
)
,o
o）において叫 (
x
,t
)→U
m
i
n
(
x
,t
)(
n→o
o
)
が成り立つ． ここで U
m
i
n
(
X
,t
)は (
2
)において t
(
t
)三 t
(
O
)としたと
きの最小特異解である．

(
t
)の近傍での解の挙動に関するものである．これ
次の定理は特異点 t
は上で与えた具体例からもわかるように，定在特異点と移動特異点では
漸近挙動が異なることを注意しておく．

60
定理 3
.f
,
(
t
)は tE[
O
,T)について非増加であるとする． このとき (
2
)の
特異解は以下の性質を持つ．

(
i
)f
,
(
t
)>f
,
(
O
)をみたす tE (
0
,T)に対してある a
(
t
)>0および (
3
(
t
)>0
が存在し，

a
(
t
)
{x-~(t) }— 2m :
;u
(
x
,t
)::;/3(t){x-~(t) }— l-2m,

XE （
とt
)
,~(t)+ 1
)
,

が成り立つ．

(
i
i
)t
(
t
)>0をみたす tE (
0
,T)に対して
u
(
x
,t
)=h
(
t
(
t
)
)
{
x-t
(
t
)
}―dm+o({x-t(t)―
｝ l-lm)

（
x↓t
(
t
)
)

が成り立つ．
さて，特異解に対しては t
(
t
)で＋ o
oに発散するという緩い条件を課し
ているだけなので，初期値が複雑な挙動をする場合には解の一意性は自
）の特異解の一意性を示すためにはある程度の
明ではなくなる．実際，（ 2
条件を課す必要がある． ここではまず，一意性が成り立っための簡単な
十分条件を与えよう．

o
(
x
)が xE (
t
(
O
)
,o
o
)について非負かつ非増加であると
定理 4．初期値 u
2
)はただ一つの（最小）特異解を持つ．
する． このとき (
初期値 u
0
(
x
)が xE t
(
O
)の近傍で複雑な振る舞いをする場合には，特
異解の一意性が保証されるかどうかすぐにはわからない． しかしながら，
0
(
x
)が xE t
(
O
)の近傍において非増加な場合には，さらに以下
初期値 u
のような条件を追加することによって一意性を示すことができる．

(
A
l
)u
o
(
x
)は xE (
t
(
O
)
,
o
o
)について正かつ連続．

(
A
2
)u
o
(
x
)は X=t
(
O
)の近傍で非増加で u
o
(
x
)→o
o(
x↓t
(
O
)
)
.
(
A
3
)l
i
mi
n
f
x→o
o
X
2
/
(
1
m
)
u
o
(
x
)>0
.

(
A
4
){
u
0
(
x忙
｝”
/
u
o
(
x
)は (
t
(
O
)
,o
o
)において下に有界．
もし初期伯がこの条件をみたせば，解は各時刻 t>Oにおいて同じ性質
を持つことが示される．

61
定理 5
.(Al)(A4)を仮定する． このとき (
2
)はただ一つの特異解を持つ．
次の結果は，例として与えた特異進行波解が漸近安定であることを示
している．
定理 6
.初期値が u
0
(
x
)→ 0 (
x→ (X)）をみたすとする．もし (
(
t
)が
(
'
(
t
)→C >0 (
t→(X)）をみたせば，（2
）の特異解は xE(
(
(
t
)+p,(X)）に
ついて一様に

u
(
x
,t
)→h
(
c
)
(
x-c
t
)―l-lm

(
t→o
o
)

をみたす． ここで p>Oは任意の定数である．

~(t) がすべての tE 艮について定義されているとき， tE 艮に対して定

義された (
1
)の解を（時間）全域解という．次の定理は全域解の存在に関
する結果である．
定理 7
.~(t) がある定数 C1,C2,C3 >0に対して
0 :
;t
(
t
)
:
:
;C2 o
, l~"(t)I


tE罠
，

をみたせば，（ 1
)に全域特異解が存在する．
最後に，

2 点で特異性を持つような解について述べる． ~(t) は t につい

て非減少， T
J
(
t
)は非増加であると仮定し，（時間に依存した）有界区間上
の初期値問題

｛
切
＝ （炉）

E（
く
（t
，
）n
(
t
)
，
） t>0
,
u
(
x
,0
)=u
0
(
x
)
, xE(~(O), T
J
(
O
)
)
,
xx,

(
4
)

X

を考える． この問題の特異解（区間の両端において発散している解）の存
在は定理 1と同様にして示すことができる． ここでは枢間（~(t), T
J
(
t
)）が
一点に縮む場合について考える．
定理 8
.tE(
0
,T
]に対して t
(
t
)>0および T
J
'
(
t
)<0であり，また T
J
(
t
)~(t) • 0 (
t↑T)をみたすと仮定する． このとき，任意の 8E (
0
,T)に対
ぃ凸＞ Oが存在し，（4）の特異解は
してある定数 c
C1{TJ(t)-~(t) ｝― l-1m さ：

.

1

mln u（
x
,
t
)：： C2{TJ(t)-~(t) }— dm,

咋（ W
)
,
7
1
(
t
)
)

tE(
T
8
,
T
)
.

62
以上の定理は適当な比較関数の構成，交点数非増大の原理，無限次元
1
1
]で
力学系理論などを用いて証明されるが，その詳細については論文 [
公表の予定である．
文献
1
.P
. BarasandJ
.A. G
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