準2面体群をシロー群にもつ有限群の主ブロックのsplendid森田同値 (有限群のコホモロジー論とその周辺)

概要

41

準 2面体群をシロー群にもつ有限群の
plendid森田同値
主ブロックの s
千葉大学先進科学センター越谷重夫（こしたに

しげお）

S
h
i
g
e
oK
o
s
h
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t
a
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C
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t
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rf
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rS
c
i
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c
e
,ChibaU
n
i
v
e
r
s
i
t
y
,Japan

§
1
. 序文：ドノバン (Donovan)予想とプーチ (Puig)予想
いきなりではあるが，素数 p を止めておく．有限群のモジュラー表現
論における未解決問題の一つに， 「与えられた p
-群 P を固定したとき，
不足群に P を持つ（ある）有限群の p—ブロックは森田同値を除いて有限

個しか存在しないのだろうか？」というものがある． P
e
t
e
rDonovanに
よる Donovan予想であるドノバン自身が書いたものは存在しないが，

1
9
7
9年アメリカ合衆国 S
a
n
t
aCruz研究集会（アメリカ数学会 Summer
.G
o
r
e
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s
t
e
i
nが「有限単純群の分類は完成した！」と少々
I
n
s
t
i
t
u
t
,故 D
勇み足的に発表した研究集会として有名）での J
.
L
.
A
l
p
e
r
i
nが問閣 (M)
として発表したものです．因みに，この M は森田紀ー (
1
9
1
5
1
9
9
5
)を
意味するのではなく，たまたま原稿の内容順で M になったに過ぎない
まだ未解決である．
若干横道にそれるが，関連した予想として「二つの p—ブロック A,B

が環として森田同値であったら， A,Bの不足群は同型か？」というモ
ジュラー版同型問題があった．恐らく多くの研究者はこの予想が正し
いのでは，と感じていたと思う（筆者を含め）．

ところが，つい最近

2
0
2
2年発表の論文でロシア出身の若手研究者（専門は整数表現） Leo
2
]で，これが否定された彼ら 3人は，
M
a
r
g
o
l
i
sを含む 3人共著の論文 [
何と非常に小さい位数の群 ￨
Pl=2
8=2
5
6で反例を見つけたのである．
代数ソフト GAPを使ってはいるが，今まで我々は何をしてきたのか，と
感じざるを得ないとにかく，この反例発見のニュースは，私にとって
は，かなり大きい衝撃である．

42
（これらを言い訳にして？）今回の話題は，最初に述べた予想， Donovan
予想より強い予想「与えられた p—群 P を固定したとき，不足群に P を

持つ（ある）有限群の p
-ブロックは P
u
i
g
(
=
s
p
l
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n
d
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dM
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a= s
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a
l
g
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b
r
ai
s
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m
o
r
p
h
i
s
m
)同値を除いて有限個しか存在しないのだろうか？」
の部分解答（もちろん肯定的なもの）についてである．従って，主役の

s
p
l
e
n
d
i
d森田同値が何なのであるかをきちんと定義しないといけない
ただ少しサボって，素数 p を勝手に取ってきて，そして更に勝手な有限

p群 P を固定する．有限群 G,Hの 2つのブロック
森田同値(=P
uig同値）とは，

A,Bが s
p
l
e
n
d
i
d

「
Pは
， A,Bは共通の不足群 A になっ

ていて，その J
:
:
:A,B の s
o
u
r
c
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l
g
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r
a別と B の s
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aS
Bが互
いに i
n
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P
a
l
g
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b
r
aとして同型であること」である． A の s
o
u
r
c
e

a
l
g
e
b
r
aとは， A と森田同値で更に P の作用を生かしたままで最小（極
小）のものである． P =lつまり，群論 (Pの作用）を忘れて，環論的
だけの意味で考えると， s
o
u
r
c
ea
l
g
e
b
r
a とは森田同値にでてくる，いわ
ゆる， b
a
s
i
ca
l
g
e
b
r
a(
b
a
s
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cr
i
n
g
) に対応しているここで，最初に P は

A,B共通の不足群，と仮定したが，実はこれは s
p
l
e
n
d
i
dM
o
r
i
t
a同値
の条件を見かけ上少し弱めて「結果的に A,Bの不足群は同じになっ
てしまう」という L
.
P
u
i
gの大きな結果があることを一つ注意しておく

(
[
7
,§
7
] を参照）．言い忘れていたが， 2番目の予想は Puigの有限性予
想と呼ばれている [
8
,(
3
8
.
5
)
C
o
n
j
e
c
t
u
r
e
]
.

§
2
. 主結果
主定理（越谷— Lassueur-Sambale [
5
]
)
.Pが位数 2
n （ただし n2
:4
)
の準二面体 2—群 SD2n であるとき， P をシロー 2ー部分群に持つ 2 つの

。

勝手な有限群 G に対して， kGの主ブロック B:=B(
k
G
)は splendid
森田同値を除いて次の 6種類に限る．その上，グループが違えば，絶対
にs
plendid森田同値にはならない．

(
1
)p
(
2
)SLt(P
りただし 4
(
p
f+1
)
2= 2
n
(
3
)SU団(
p
りただし 4
(
p
f-1
)
2= 2
n
(
4
)PGL;(p
叫ただし 2
(
p
2
f-1
)
2= 2
n
(
5
)PSL3(p
りただし 4
(
p
f+1
)
2= 2
n

43
(
6
)PSUa(P
りただし 4
(
p
f-1
)
2=2
n
ここで， p は奇数素数，

fは自然数．その上それらの

c
o
t
t加群 Sc(GxG
'，
△P
)で実現される．
値は， S
同じグループに入っている勝手な有限群．

s
p
l
e
n
d
i
d森田同

ここで G
'は G と

また， SL
デ(
q
) := {A E

G
L
2
(
q
)Id
e
t
(
A
)＝ 士 1},SUデ(
q
) :={AE GU2(q)Id
e
t
(
A
)＝ 士 1
}と
定義する．そして， q=p
2
f（ただし pは奇数素数）のとき，以下を満たす
H が丁度 3個存在する． P
S
L
2
(
q
) r
L
2
(
q
)
, IH:P
S
L
2
(
q
)
I=2
.
まず 1つは， PGL2(q)，でその次のものは， P
S
L
2
(
q
)>
<
1〈
F〉に含まれる．
ここで F は元の個数が qである有限体凡の（所謂）フロベニウス自
己同型そして最後の 3つ目が PGL;(q)．また，少し古い記号の使い方

U2(q):=GU(2,q
り
， P
SU2(q):=PSU(2,q
りと書いていた．
では， G
注意．

この結果は，［3
,4
] の続編であることは間違いないのだが，実

は，決定的に違う点が一つあるシロー 2
部分群が二面体群または一般
ッ(
G
)の構造は古くから決定さ
四元数群である有限群 G に対して， G/0

D
.G
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nandJ
.
H
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.A
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b
r
a2(
1
9
6
5
)］．これの
れていた [
自然な拡張で，シロー 2—部分群が準二面体群の場合にも，同じような定

理を証明しよう，と考えるのは，奎極真っ当，自然なことであるだがこ
の場合には，［D
.G
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i
nandJ
.
H
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r
,J
.A
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g
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b
r
a2(
1
9
6
5
)］に相
当する定理を少なくとも笙者は知らなかった（有限群のモジュラー表
現論多くがそうであった）．実は， 2019 年 5 月ベルギー •Spa で開かれ

た研究集会での食事の際，たまたま隣にいた B
urkhardK
i
i
l
s
h
a
m
m
e
rに
，

enjaminSambaleから連
このことについて訊かれたその 2週間後に B
]での証明を少し詳しく読めば，［G
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n
W
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l
t
e
r(
1
9
6
5
)
]
絡があり，［ 1
に相当する定理が「準二面体群」に対しても成り立つことがわかる，と

a
r
o
l
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eL
a
s
s
u
e
u
rに更に Sambaleも加え， 3
教えてもらったそこで， C
人でこの仕事に取り組み，結果としてできたものが，今回のものである．
「教訓：会食は大事！」．

§
3
. 謝辞今回の研究集会の世話人飛田明彦教授（埼玉大学）には
大変世話になりましたここに感謝の意を表します．また，研究集会後

0
2
2年 1
0月 5日に 9
2オで亡くなった太刀川弘幸先生
の話ではあるが， 2
(
1
9
7
3年からの恩師）にこの拙文を捧げたいと思います． 1
9
7
4年夏休

44
み中，森田紀ー先生の論文

[
K
.Morita,Ongroupr
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ramodular

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u4 (
1
9
5
1
)
,1
7
7
1
9
4
]の私の発表を一週間
かけてほぼ毎日助言してもらったことを懐かしく思い出されます（地
下鉄丸の内線若荷谷駅あたりの今は存在しない大学で）．

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