流体方程式の解の正則性と一意性についての調和解析学的研究

概要

研究成果の概要（和文）：
Brezis-Gallouet-Waingerの対数型不等式を満たす最大のノルム空間を見つけることに成功し、その結果を利用し、非圧縮性粘性流体の運動を記述する３次元Navier-Stokes方程式の解の正則性に関して、有名なBeale-Kato-Majda型の爆発判定条件の改良に成功した。 例えば、外部領域における３次元 Navier-Stokes方程式の強解の最大存在区間が[0,T)であるならば、 int_(0,T) || rot u(s)||_{bmo}ds= inftyとなることを示した。 さらにMorrey型空間を利用し、bmoより広い空間でも同様のことが成り立つことを証明した。

研究成果の学術的意義や社会的意義
水や油などの縮まない流体の運動を記述するNavier-Stokes方程式の解の性質に関する研究をおこなった。 この方程式は数学のみならす、物理学、工学、気象学等の様々な自然科学の分野で利用される極めて重要な方程式である。 また、同方程式の滑らかな解の大域存在は、数学の７つの未解決問題（いわいるミレニアム問題）に選ばれており、同方程式の研究は数学分野においても重要視されていることがわかる。

研究成果の概要（英文）：
We founded the weakest norm that satisfies the Brezis-Gallouet-Wainger type inequality, under some conditions. As an application of the Brezis-Gallouet-Wainger type inequality, we gave Beale-Kato-Majda type blow-up criteria of smooth solutions to the 3-D Navier-Stokes equations in unbounded domains. For example, we proved that, if [0,T) is the maximal interval of existence of a smooth solution u to the Navier-Stokes equations, then int_(0,T) || rot u(s)||_{bmo}ds= infty.
Moreover, we improved this blow-up criterion by using a space of Morrey type.

キーワード： 関数方程式論 偏微分方程式 流体力学

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