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書き出し

シュレディンガー作用素の特異連続スペクトル

宇治野, 広大 UJINO, Kota ウジノ, コウタ 九州大学

2023.03.20

概要

九州大学学術情報リポジトリ
Kyushu University Institutional Repository

The singular continuous spectrum of Schrödinger
operators
宇治野, 広大

https://hdl.handle.net/2324/6787431
出版情報：Kyushu University, 2022, 博士（数理学）, 課程博士
バージョン：
権利関係：

（様式３）

氏

名

：宇治野 広大

論 文 名

：The singular continuous spectrum of Schrödinger operators
（シュレディンガー作用素の特異連続スペクトル）

区

：甲

分

論

文

内

容

の

要

旨

本論文では、特異連続スペクトルをもつシュレディンガー作用素について取り扱う。ヒルベルト
空間上に定義された自己共役作用素はスペクトルが定まる。スペクトルは絶対連続スペクトル、特
異連続スペクトル、点スペクトルに分類される。特異連続スペクトルをもつシュレディンガー作用
素としてランダムシュレディンガー作用素などが知られているが、これはポテンシャルが具体的に
分からない場合が多い。具体的に分かる例としてスパースポテンシャルと呼ばれるものがある。本
論文ではスパースポテンシャルの性質を有するシュレディンガー作用素を取り扱う。本論文では二
つのモデルについて取り扱う。
一つ目のモデルは、Γ-スパースツリーと呼ばれるグラフに定まるグラフラプラシアンである。こ
こで、Γは実数かつ0 < Γ < 1を満たすとする。一般にグラフが与えられると、それに付随するグラ

フラプラシアンが与えられる。グラフラプラシアンは自己共役作用素なので、それに付随するスペ
クトル測度が得られる。一般に測度μに対して上側ハウスドルフ次元 dim∗ μと下側ハウスドルフ

次 元 dim∗ μ が 定 ま る 。 こ の と き dim∗ μ ＝ dim∗ μ ＝𝛼𝛼 が 成 り 立 つ な ら ば 、 𝜇𝜇は 𝛼𝛼 -exact Hasudorff
dimension をもつという。グラフラプラシアンに付随するスペクトル測度のハウスドルフ次元を計
算するのが研究の主題である。結果として、Γ-スパースツリーに定まるグラフラプラシアンに付随

するスペクトル測度は、区間(0,4)に制限するとΓ-exact Hausdorff dimension をもつことが分かった。
Γ-スパースツリーのグラフラプラシアン𝐻𝐻𝑑𝑑 は絶対連続スペクトルをもたず、区間(0,4)で点スペク
トルをもたないことが分かる。この系として区間(0,4)が特異連続スペクトルであること分かる。𝐻𝐻𝑑𝑑

の スペ ク ト ル測 度 を 区 間(0,4)に 制 限し た も の を 𝐸𝐸と す る。 先 行 研究 で は 、Breuer によ っ てΓ ≦

dim∗ 𝐸𝐸 ≦ dim∗ 𝐸𝐸 ≦ 2Γ �(1 + Γ)であることが分かっている。この結果は subordinate solution と呼ばれ
るものを利用している。本研究では intermittency function 𝛽𝛽(𝑝𝑝)と呼ばれるものを利用して、𝐸𝐸の上側

ハウスドルフ次元を評価した。𝛽𝛽(𝑝𝑝)は粒子の時間平均的な拡散を表すための指標である。𝑝𝑝 > 0に対

してdim∗ 𝐸𝐸 ≦ 𝛽𝛽(𝑝𝑝)が成り立つ。結果として、𝑝𝑝 > 0に対して𝛽𝛽(𝑝𝑝) = (Γ𝑝𝑝 + Γ)�(Γ𝑝𝑝 + 1)であることが

分かった。このとき 𝑝𝑝 → 0とすると、Γ ≦ dim∗ 𝐸𝐸 ≦ dim∗ 𝐸𝐸 ≦ Γであることが分かる。以上より𝐸𝐸は
Γ-exact Hausdorff dimension をもつことが示せた。一般に測度が exact Hausdorff dimension をもつと
は限らない。今回のモデルは exact Hausdorff dimension をもつスペクトル測度を付随するグラフラプ

ラシアンの例となっている。
二つ目のモデルは半直線上のシュレディンガー作用素𝐻𝐻𝑐𝑐 = −Δ + 𝑉𝑉である。ここで、𝑉𝑉はスパースポ

テンシャルである。𝐻𝐻𝑐𝑐 は𝑥𝑥 = 0で正則境界点かつ無限遠点で極限点である。よって𝐻𝐻𝑐𝑐 の自己共役拡張

𝐻𝐻𝜃𝜃 はパラメータ𝜃𝜃 ∈ (− 𝜋𝜋⁄2, 𝜋𝜋⁄2]で特徴づけられる。先行研究により、任意の𝜃𝜃で𝐻𝐻𝜃𝜃 は絶対連続スペ

クトルをもたず、区間(0,∞)で点スペクトルをもたない。この系として、区間(0,∞)は𝐻𝐻𝜃𝜃 の特異連続ス

ペクトルとなることが分かっている。ここでの研究の動機としては、スパースポテンシャルをもつ
シュレディンガー作用素は、ある区間が特異連続スペクトルとなる場合が多い。一方で、その区間
の補集合に含まれるようなスペクトルについて言及されることが少ない。スパースポテンシャルを
もつシュレディンガー作用素に対して、特異連続スペクトルとなるような区間に含まれないスペク
トルを調べるのが研究の主題である。
本研究では、区間(0,∞)の端点である𝐸𝐸 = 0が点スペクトルになるかどうかを考察した。結果とし

て𝐻𝐻𝜃𝜃 が埋蔵固有値を持たないスパースポテンシャルの十分条件を与えることができた。また具体例

として任意の𝜃𝜃に対して𝐻𝐻𝜃𝜃 が埋蔵固有値を持たないようなスパースポテンシャル𝑉𝑉を構成した。この

とき𝜃𝜃を0 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝜋𝜋⁄2とすると𝐻𝐻𝜃𝜃 のスペクトルは、絶対連続スペクトルと点スペクトルは存在せず、

区間[0, ∞)が特異連続スペクトルである。また𝜃𝜃を− 𝜋𝜋⁄2 < 𝜃𝜃 < arctan((− 1 + √3)⁄2)とすると𝐻𝐻𝜃𝜃 のス

ペクトルは、絶対連続スペクトルは存在せず、ただ一つの負の点スペクトルが存在し、区間[0, ∞)が
特異連続スペクトルである

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