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興奮性媒体に生じる非線形時空現象のダイナミクス推定とモデルベースド制御

勝俣 久敏 大阪府立大学 DOI:info:doi/10.24729/00017849

2022.11.28

概要

1.1 研究背景
自然界には，秩序のある「リズム」や「パターン」を自律的に形成する「自己組織化現象」がいたるところで見受けられる．例えば，生物の分野では，動物の体表に現れる縞模様や一定のリズムで拍動する心臓，化学の分野では，結晶構造の生成やBZ（Belousov-Zhabotinsky）反応などが挙げられる．自己組織化現象のメカニズムは数理モデルを用いて調査されている．この数理モデルの代表例の一つに「反応拡散系」がある [1]．反応拡散系は，「反応」と「拡散」という２つのプロセスで成り立っており，このプロセスが相互に作用することでリズムやパターンを形成する．また，反応拡散系は，系に生じるリズムやパターンの特徴によって，興奮性，振動性，チューリング性，双安定性というカテゴリに分けられている．

興奮性に分類される反応拡散系は「興奮性媒体」と呼ばれており，媒体の一部に刺激を受けると，その刺激が興奮波として周囲に伝搬する特性を持つ．この興奮波は，適切な条件を与えることで，同心円状や渦巻状の特徴的なパターンを形成する [2]．これらは，前述した自己組織化現象が発生する心臓やBZ 反応で観測される．心臓に発生する渦巻状パターンは不整脈を引き起こす要因の一つであることが知られている．そこで，渦巻状パターンを除去する制御法が提案されている [3]．これは，興奮波の伝搬によって生じる「ネガティブな事象」を避けることに相当する．それとは反対に，興奮波を「ポジティブな事象」として活用する事例も報告されている．例えば，伝搬する興奮波によって膨張・収縮運動するBZ ゲルの活用が挙げられる [4–7]．このゲルを応用することで，ポンプ機構 [8, 9] や物質を輸送する機構 [10, 11] などが実現できる．さらに，興奮波の活用事例として，興奮波の伝搬・衝突・分裂といった特性を利用した「情報処理への応用」が注目を集めている．例えば，光に反応するBZ 溶液を活用した画像処理 [12]，興奮波をデジタル信号として扱う論理回路 [13–15]，一方向からのみ伝搬が可能なダイオード機構 [16]，最適な経路の探索 [17, 18] などがある．

興奮性媒体を工学的な視点で活用する事例は上記のように多数報告されているが，これらの活用事例の更なる拡張や効率的な実装のためには，反応拡散系に生じるパターンを自由自在に制御する手法の確立が不可欠である．今のところ，パターンに対する有効な手法として「フィードバック制御」が利用されている [19, 20]．具体的には，興奮性媒体に生じる興奮波の抑制 [21–24]，渦巻状パターンの位置制御 [25, 26]，自己推進粒子の安定化 [27–29]，振動性媒体に生じる時空カオスの抑制 [30, 31]，クラスター数の選択 [32, 33]，チューリング性媒体に生じるチューリングパターンの選択 [34–37] などが報告されている．さらに，自然界では観測できなかった新たなパターンが観測できる事例として，フィードバック制御による不安定な「wave segments」の安定化がある．Wave segments は，人為的に制御しなければ，渦巻状パターンや時空カオスに遷移する，または消滅してしまう．しかし，wave segments の大きさに比例した強度の光を媒体に照射することで，wave segments の形状を維持することができる．これらを実現する実験と数値シミュレーションがSakurai らによって報告されている [38, 39]．その後，PID（Proportional- Integral-Differential）制御 [40, 41] や遅延フィードバック制御 [42] による安定化が提案されている．また，安定化されたwave segments に関しては，単純化したモデル [43, 44]，自由境界問題 [45–50]，キネマティックモデル [51, 52] に基づく解析など，理論的なアプローチによる調査も進められている．

1.2 本研究の目的
Wave segments を活用している代表的な事例としては，前述した論理回路が挙げられる．Adamatzky らが提案した論理回路 [15] では，「fusion gate」と呼ばれる領域が重要な役割を担っている．このfusion gate 上をwave segments が一定の大きさで伝搬することで，論理回路が期待通りに動作する．このようなwave segments の活用事例をさらに拡張していくためには，次の 2 つの問題を解決する必要がある． 1 つ目の問題は，wave segments を所望の大きさへ安定化することが難しい点である．Wave segments の安定化に関する先行研究のほとんどでは「比例制御」が用いられていた．この比例制御には，定常位置偏差を伴うことがシステム制御工学分野では知られている．したがって，所望の大きさを目標値として与えたとしても， wave segments は目標値と異なる大きさへ収束してしまう．2 つ目の問題は，wave segments が外乱によって容易に消滅してしまう点である．実システムでは，媒体に不均一な領域が生じることは避けられない．この不均一性により，wave segmentsは形状を維持できなくなり，最終的に消滅してしまう．もしこれらの問題が解消できれば，wave segments の取り扱いが容易となり，実システムへの適用に要する手間や費用の削減が期待できる．

そこで，本論文では，wave segments の制御に関して，下記の 3 つの課題に取り組む．
課題 A Wave segments の大きさを，所望の値へ偏差無く安定化させる．
課題 B Wave segments の大きさを，変動する目標値へ俊敏に追従させる．
課題 C 目標値が大きく変動したり，媒体に不均一領域（障害物）が存在しても， wave segments を消滅させない．

これらの課題の解決が，本論文の目的である．課題A への取り組みでは，比例制御システムに積分器を追加した「PI（Proportional-Integral）制御システム」を構築し，wave segments が目標値へ偏差無く追従することを数値シミュレーションで検証する．さらに，PI 制御システムでは偏差が生じない根拠を解析的に示す．課題B への取り組みでは，wave segments の定常状態近傍のダイナミクスを推定し，推定したモデルに基づいて「2 自由度制御システム」を構築する．Wave segmentsのダイナミクスを反応拡散モデルから解析的に導出するのは困難であるため，本論文では入出力の時系列データから伝達関数を推定する．2 自由度制御システムでは，目標値から出力までの応答を所望の伝達関数で与えることができ，高い目標値追従性能が得られる．課題C への取り組みでは，課題B で推定したモデルの精度の検証と，「最適サーボシステム」の構築を行う．課題 B で推定したモデルに基づいて構築した制御システムの性能は，推定モデルの精度に大きく左右される．推定モデルに大きな誤差が含まれる場合，制御性能が低下するだけでなく，制御システムが不安定になる可能性もある．したがって，様々な視点から推定モデルの精度を確認することが必要である．また，一般的に，最適サーボシステムでは，重みを調整することで制御入力の変動量が抑制できる．これらの取り組みにより，目標値の急な変動や，障害物への衝突に対しても，wave segments は消滅せずに安定的に伝搬させることができる．課題A，B，C への取り組みをそれぞれ第 2，3， 4 章にて説明する．

1.3 各章の概略
第2 章では，wave segments が目標値へ偏差無く追従するPI 制御システムを構築する．構築したPI 制御システムと，従来から使われてきた比例制御システムの性能を，数値シミュレーションで比較する．さらに，定常状態近傍ではwave segmentsのダイナミクスが線形システムに近似できると仮定し，PI 制御システムに偏差が生じない根拠を解析的に示す．また，PI 制御システムのゲイン KP-KI 領域における安定領域を調査する．

第 3 章では，wave segments の定常状態近傍のダイナミクスを記述する伝達関数を推定する．推定は 2 つのステップで構成される．1) Wave segments を安定化させるPI 制御システムを構築し，ランダムに変動させた目標値（入力時系列）に対する出力時系列を得る．2) 評価関数が最小となる未知パラメータを最適化計算により求める．この評価関数は，ステップ 1) で得た入出力時系列データと，未知パラメータを伴う伝達関数から算出される．さらに，推定した伝達関数に基づき，2自由度制御システムを構築する．構築したシステムの有効性を数値シミュレーションで検証する．

第 4 章では，前章で推定した伝達関数の妥当性を，これまでは検討されていなかった「根軌跡」「ゲイン安定領域」「周波数応答」の視点で検証する．さらに，制御入力の変動量を重みで調節できる「最適サーボシステム」を構築する．大きな入力重みを設定した最適サーボシステムでは，wave segments が消滅しづらくなることを数値シミュレーションで確かめる．また，推定モデルの次数を適切に選択することで，高周波帯域の外乱を伴う場合でも，wave segments が消滅せずに安定化する数値例を示す．最後に，本論文で用いた数理モデルの普遍性と，本章で取り組んだ頑健性向上が活用できる事例について，筆者らの見解を述べる．

第 5 章では，本論文の結論を述べる．

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