論文の公開元へ曲線と曲面に対する変分問題のいくつかの話題
概要
曲面に対する変分問題の解として古くから研究されているものの中に，極小曲面と平均曲率一定曲面（constant mean curvature surface．以下，CMC 曲面と略記する）がある．極小曲面は平均曲率が至る所 0 である曲面であり，CMC 曲面は平均曲率が至る所（0 とは限らない）定数の曲面である．前者は面積の臨界点，後者は「囲む体積が一定」なる付加的条件のもとでの面積の臨界点である．そのため，これらはそれぞれ，石鹸膜，シャボン玉の数学的抽象化と言われることがある．本学位論文では，小磯深幸教授（九州大学）との共同研究により，以下の 3 つの研究成果を得た．
（1）3 次元ユークリッド空間内の回転軸を共有する 2 つの同じサイズの円で張られる CMC 曲面に対する分岐と安定性に関する研究（第 2 章）：与えられた曲線を境界に持つ CMC 曲面についての研究は「一般化された Plateau 問題」と呼ばれ，古典的な微分幾何学の重要課題の 1 つである．境界曲線が 1 つの単純閉曲線である場合の解の存在及び一意性については，1970 年代から 80 年代に証明された十分良い定理が知られている．一方，境界曲線が 2 つ以上の連結成分を持つ場合については，解の存在も一意性も非常に複雑な状況となることが既知の例の観察により推察されるのみであり，一般的な結果は知られていない．本研究では，この状況下で最も単純な場合，即ち，回転軸を共有する 2 つの同じサイズの円で張られる CMC 曲面に着目した．特に，境界円を含む二平面で挟まれる（厚板状）領域に含まれる自己交差を持たない曲面のみを考えると，解は回転面になる．我々は，全ての安定解（安定性の定義は後述）について，曲面の「境界での法線の向き」をパラメータとする独創性の高い表示法を用いることにより，母線についての情報や解曲面が囲む体積などを始めとする種々の重要な幾何学量の表示式を得た．本研究では，さらに，以下の難題に取り組んだ．CMC 曲面は，「囲む体積を保つ変分に対する面積の臨界点」であり，解が安定か否か（面積極小か否か）の判定は重要課題であるが，一般には難解である．上述の CMC 回転面の安定性をすべて決定することを目指して研究を進め，楕円積分を用いた複雑な計算を行い分岐理論（[2]）を応用して，ようやく「既知の安定解に近い解」についての安定・不安定の判定を完成させた．CMC 曲面は，シャボン膜や微小液滴の数理モデルとしても利用されることからも推察されるように，本研究は理論・応用の両観点から重要である．
（2） 滑らかな曲線・曲面，区分的に滑らかな曲線・曲面，離散曲線・曲面の全てに適用できるような基本的な幾何学理論の構築（第 3 章）：従来の（微分）幾何学においては，滑らかな曲線・曲面，離散曲線・曲面は別々に扱われてきた．従って，例えば，離散曲面の曲率は，各面に対して，あるいは各頂点に対してのみ定義された．それに対し，本研究においては，これらを統一的に扱う枠組みを構築するための研究を行っている．そのために，例えば曲率や法ベクトルなどの幾何概念は，滑らかな点においても特異点においても定義する．次に，平面内の滑らかな曲線・空間内の滑らかな曲面に対しては，各点で単位法ベクトルが（向きを除いて）一意的に決まる．それに対し，平面内の曲線の特異点・空間内の曲面の特異点においては凸幾何で知られている「法錐（normal cone）」の概念を拡張して用いることにより，「多価の単位法ベクトル場」を定義した．さらに，滑らかな平面曲線・滑らかな空間曲面に対し， Steiner 公式及び Minkowski 公式と呼ばれる基本的な幾何学的積分公式がある．これらは，幾何学的変分問題研究においてもしばしば重要な役割を果たす．これらの積分公式の一般化が成り立つように，特異点を持つ曲線・曲面の曲率を定義している．離散曲面の曲率の定義に Steiner 公式が用いられることは従来からあったが，Minkowski 公式も保とうとするものは無く，これは本研究が一般的な変分法構築を目指していることの現れである．本研究では，凸の場合は勿論，凸とは限らない平面曲線・空間曲面に対しても，多価の単位外法ベクトル場を定義した．同様に，平面曲線の曲率，空間曲面のガウス曲率及び平均曲率を定義した．
（3） クリスタライン変分問題に対するエネルギー極小解の一意性についての研究（第 4 章）：結晶やある種の液晶のように異方性を持つ物質は，エネルギー密度が表面の法線方向に依存する非等方的エネルギーの「体積一定」の条件下での極小解を形作ると考えられる．与えられたエネルギー密度関数に対するエネルギー最小解は一意的でありウルフ図形（Wulff shape）と呼ばれる凸図形である（[5]）．ウルフ図形が多面体のように特異点を持つ場合は，エネルギー密度関数は微分不可な点を持ち古典的な変分法は使えないため，エネルギー極小解についての数学研究は進んでいない．なお，ウルフ図形が多面体である場合にエネルギー極小解を論じる問題はクリスタライン変分問題と呼ばれている．3 次元ユークリッド空間内の任意の凸閉曲面 W に対し，W がウルフ図形となるエネルギー密度関数γは存在するが一意的とは限らない．「凸なエネルギー密度関数」に限ればγは一意的である．特に W が滑らかである場合は，γは一意的であり，囲む体積を保つ変分に対する非等方的エネルギーの極小解は W またはその相似である（[3]）．W が滑らかでない場合にも，極小解の一意性が次の形で得られた．「主定理：正多面体 W に対する凸なエネルギー密度関数γを考える．この時，囲む体積を保つ変分に対する非等方的エネルギーの凸な極小解は，W またはその相似である．」主定理の物性科学への応用例をあげる．酸化セリウムの単結晶は通常正八面体の形をしている．しかしながら，正八面体のみでは空間を充填することはできず，水中の酸化セリウムのナノ結晶集合体の内部構造は正八面体と正四面体より成っていると考えられる（[1]）．酸化セリウムのエネルギー密度が凸性を持つならば，主定理により，この正四面体は酸化セリウムの結晶ではあり得ず，従って空気または水であると考えられる．このことは，名古屋大学工学研究科・髙見誠一教授による無機有機のナノ結晶・ナノ粒子に係る実験観察結果の分析（[4]）に対する数学的説明を与えている．
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