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An analytic approach to the remainder terms in the asymptotic formulas : the Volterra integral equation, the Whittaker function

岩田, 英人 名古屋大学

2023.06.23

概要

学位報告４

別紙４
報 告 番

※

第

号

号

主

論

文

の

要

旨

論 文 題 目 An analytic approach to the remainder terms in the
asymptotic formulas
- the Volterra integral equation, the Whittaker function –
( 漸近公式の誤差項に対する解析的アプローチ
- Volterra 型積分方程式, Whittaker 関数- )
氏
名岩田 英人

論 文 内 容 の 要 旨
本論文はある特殊な条件を満たす数論的関数や,associated Euler totient function と
呼ばれる Euler の関数を一般化した関数の漸近公式における誤差項に関して得られた
著者の主となる 2 つの結果をまとめたものである.
2010 年に J.Kaczorowski と K.Wiertelak は Euler の関数の漸近公式の誤差項に対
し て , 第 二 種 Volterra 型 積 分 方 程 式 を 考 え , 誤 差 項 を 積 分 方 程 式 の 解 で あ る
arithmetic part と呼ばれる部分と, analytic part と呼ばれる方程式の解でない部分の
二つに分け, それぞれのΩ-評価を得た. また, analytic part については Riemann 予
想との同値性についての命題を得た. arithmetic part のΩ-評価については, まず
J.Kaczorowski と K.Wiertelak はある 5 つの条件を満たす数論的関数の集合を定義し,
その集合に属する数論的関数を用いて arithmetic part の一般化を考え, その関数に
対してΩ-評価を得ている. そしてその系として, arithmetic part のΩ-評価を得てい
る. analytic part のΩ-評価の証明については, 2010 年発表の論文には直接記載されて
おらず, 彼ら自身の先行研究で用いた手法と同様の手法により証明されると記載され
ている.また, 2001 年に M.Rekos’は Riemann のゼータ関数の非自明零点に関する級
数として定義される関数を考え,その関数の正則性や有理型接続, 特異性, そして関数
等式といった解析的性質を得た. J.Kaczorowski と K.Wiertelak は 2001 年に M.Rekos’
が得た関数等式を用いて, 2010 年とそれ以前の先行研究においてそれぞれΩ-評価を
得ている.さらに, 2013 年に J.Kaczorowski は Riemann の zeta 関数や Dirichlet の
L-関数を含む Euler 積多項式と呼ばれる形の Euler 積を持つ Selberg class の subclass

に 属 す る 関 数 に 対 し て , Euler の 関 数 の 一 般 化 と な る associated Euler totient
function と呼ばれる関数を定義し,その関数の漸近公式を得た.また, 漸近公式の誤差
項に対して二乗平均やΩ-評価を得た.
著者が得た１つ目の結果として, 2010 年に J.Kaczorowski と K.Wiertelak が Euler
の関数の漸近公式の誤差項に対して得た結果を, Euler の関数を含むある条件を満た
す他の数論的関数に対して一般化し,その数論的関数の漸近公式の誤差項に対して
Volterra 型積分方程式を考え,方程式の解を得たものがある.また,その際に用いた証明
法により associated Euler totient function の漸近公式の誤差項に対して積分方程式
の解を得ることができ,さらに 2010 年の J.Kaczorowski と K.Wiertelak の結果の一般
化として, 誤差項を arithmetic part と analytic part の 2 つに分解することに成功し
た.
2 つ目に得られた結果として, 2001 年に M.Rekos’の Riemann のゼータ関数に対
する考察を Euler 積多項式の形の Euler 積を持つ Selberg class の subclass に属す
学位関係
る関数に対して行い,さらにいくつかの条件を付加した上で正則性や全複素平面へ

の解析接続,そして関数等式といった解析的性質をそれぞれ証明したものがある.
なお,全複素平面への解析接続と関数等式を得る際に,合流型超幾何関数の一種であ
る Whittaker 関数を用いる.

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参考文献

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