測地距離空間における凸結合の考察と共通最小点近似 (関数空間論とその周辺)

概要

107

測地距離空間における凸結合の考察と

共通最小点近似
東邦大学・理学部木村泰紀
Ya
s
u
n
o
r
iKimura
Departmento
fInf
o
r
m
a
t
i
o
nS
c
i
e
n
c
e
F
a
c
u
l
t
yo
fS
c
i
e
n
c
e
TohoU
n
i
v
e
r
s
i
t
y

1 序論
線形空間や測地距離空間等の凸結合が定義された空間において，与えられた凸関数に対
し，最小値および最小値を取る点を求める間題を凸最小化間起というこの問題は単純な
設定であるが，多くの非線形間題と関連があり，主に凸解析学の分野においてさまざまな
条件のもとで研究が進められているとくに解の存在定理や解の近似法に関する研究に対
して，多くの研究結果がある．
ヒルベルト空間上の下半連続凸関数に対し，リゾルベントと呼ばれる写像が定義される．
この写像は，以下に述べる通り，与えられた関数にある種の摂動を加えることにより，最小
点が一意に定まるようにし，その一意の最小点を用いて定義された写像である．

H をヒルベルト空間， f:H→]
o
o
,
+
o
o
]を下半連続な真凸関数とする．また，入＞ 0
,
x E Hとする．このとき，関数 g
:H →]
o
o
,
+
o
o
]を
， y E Xに対して

g
(
y
)＝入f
(
y
)+I
Y-x
l
l
2
と定義するとき， gは H 上で一意の最小点 Y
oをもつ．この点を用いて，入 fのリゾルベン
入JX=Y
oによって定義する．
トJ入f:H→H を J

凸関数のリゾルベントは堅非拡大性と呼ばれる性質をもち，さらにこの写像の不動点集
合が凸最小化間題の解集合と一致することから，凸最小化問題の研究において重要な役割
を果たしているとくに非拡大写像等の非線形写像に対する不動点理論や不動点近似理論

108
との関係を構築する架け橋の役割を果たす重要な概念といえる．
さらに近年の研究において，凸関数のリゾルベントがさまざまな完備測地距離空間上の
凸関数に対して定義できることが判明したこれらのリゾルベントは，摂動の形によって
多様な性質をもつことがわかり，ここ数年で研究が急速に進められている．
本稿ではアダマール空間上の凸関数に対して定義されるリゾルベントを用いて，有限個
の凸関数に対する最小化間題の共通解を求める問題について考察した不動点近似理論に
おける代表的な近似点列生成法である M皿 n型の漸化式を用い，さらに 3点以上の有限個
の点に対して，適用順序に依存しない新たな凸結合の概念を利用することで，共通最小点
への近似列収束定理を証明した

2 準備
X を距離空間とする． x,yE Xに対し， 1
:[
O
,
d
(
x
,
y
)］→ X が 1
(
0
)= x
,
,
(
d
(
x
,
y
)
)=
Y
,および任意の s
,tE[
O
,d
(
x
,y
)］に対して d
(
,
(
s
)，
,
(
t
)
)=i
s一叶をみたすとき，ァを x,y
を端点とする測地線というまた，任意の x
,yE Xに対し， x,yを端点とする測地線がつ

,yE Xに対してこれら
ねに存在するとき， X を測地距離空間という．本稿では，任意の x
を端点とする測地線が一意に存在することを仮定する．
測地線ァの端点を x
,yE Xとするとき， 1の像を [
x
,
y
]であらわす．このとき， tE[
0
,1
]
に対して， 1
(
(
1-t
)
d
(
x
,y
)
)E[
x
,y
]を t
x① (
1-t
)
yとあらわし， xと yの凸結合という．

X の部分集合 C が，任意の x,yE Cに対して [
x
,
y
]cC をみたすとき， C は凸であると
いう．
測地距離空間上の 3点 x
,
y
,
zE Xに対し，測地三角形△ (
x
,
y
,
z
)を △ (
x
,
y
,
z
)=

[
y
,z
]U [
z
,
x
]U [
x
,
y
]cX と定義するとき，これに対する配上の比較二角形△（瓦 '
f
j
,）
乏＝

[
'
f
J，
司 u［
乏
，
歪
］ u[
瓦'
f
J
]
c配は，二辺相等の意味で合同な三角形，すなわち
d
(
y
,z
)=I
I
'
f
j
-芝
￨
￨
，d
(
z
,x
)=
￨
￨
芝x
i
i
,d
(
x
,y
)=
￨
￨
団'
f
J
￨
￨
をみたすものとして定義される．比較三角形は合同変換を除いて一意に定められることに

x
,
y
,
z
)の比較点 pE△(瓦 j
f
'
，乏）も，対応する辺の内分比
注意する．またこのとき， pE△(
が等しい点として自然に定義され，任意の x,y,zEXと任意の p
,
qE△(
x
,
y
,
z
)に対し

,
qの比較点 p
,
qE △(豆,
'
f
j，芝）が
て
，p
d
(
p
,q
):
SI
I
P-7
J
I
をみたすとき， X は C
AT(O)空間と呼ばれる．アダマール空間は完備な CAT(O)空閻とし
て定義される．

109
CAT(O)空間では次の不等式が成り立つ．任意の x
,
y
,
zE Xと tE[
O
,1
]に対して
d
(
z
,t
x① (
1
t
)
y
)
2さ t
d
(
z
,x
)
2+(
1-t
)
d
(
z
,y
)
2-t
(
l-t
)
d
(
x
,y
)乞
この式は CN不等式と呼ばれる．
アダマール空間 X の有界点列｛％｝に対し，その漸近的半径を

r
(
{
x
n
}
)= i
n
f
.
l
i
m
s
u
p
d
(
x
n
,
Y
)
yEX n→OO
で定義する．また， pEXが｛％｝の漸近的中心であるとは，

r
(
{
x
n
}
)=l
i
m
s
u
p
d
(
x
n
,
P
)
n→OO
をみたすことをいうアダマール空間においては，有界点列の漸近的中心は一意に定まる
ことが知られている．さらに， x
oE Xが {
x
n
}の任意の部分列 {
x
n
;
}の漸近的中心である

n}は x。に△収束するという．
とき，｛ X
次の定理は点列が△収束するための十分条件を与えている．

Kimura-Kohsaka[
6
]
)
. {xn}をアダマール空間 X の有界点列とする．｛ Xn}の
定理 1(
任意の部分列の△極限 zに対して実数列 {
d
(
x
n
,
Z
)
}が収束するならば，｛％｝は△収束
する．
上記で述べたものも含め，アダマール空間の基本的性質については [
1
,2
]を参照せよ．
アダマール空間 X 上で定義される関数 f
:X → ]
o
o
,
+
o
o
]を考える．
•点列 {xn} C X が 凸 →

とき，

x。であるならば f
(
x
o
)
:
:
:
;l
i
mi
n
f
n→00 f
(％）が成り立つ

fは下半連続であるという；

•任意の x,yEX と t

り立つとき，

E]
O
,1［に対して f
(
t
x① (
1-t
)
y
)さ t
f
(
x
)+(1-t
)
f
(
y
)が成

fは凸であるという；

• fが恒等的に無限大ではないとき，すなわち，ある XE Xに対して f
(
x
)E良とな
るとき，
さらに，

fは真であるという

fが下半連続な凸関数ならば， fは△下半連続，すなわち，次が成り立つことが

知られている．｛％｝が x
oE Xに△収束するならば

f
(
x
o
)さ l
i
m
i
n
ff
(
x
n
)
n→OO
fを下半連続な真凸関数とし，入＞ 0とするこのとき， xEXに対して
J入JX=a
rgmin
入
（f
(
y
)+d
(
y
,X
）
戸
yEX

110
は一点集合となることが知られている [
7
,4
]．ここで， argminyEXg
(
y
)は関数 gの最小点
全体の集合をあらわす．これによって J入f
:X

→X が一価写像として定義され，これを

入fのリゾルベントという．
写像 T:X→X の不動点全体を FixTであらわす．すなわち， FixT= {
zE XIz=

Tz}．写像 T がアダマール空間上の非拡大写像，すなわち，任意の x,yEXに対して
d
(
T
x
,Ty):
;d
(
x
,y
)
をみたすならば， FixTは閉凸集合となることが知られているアダマール空間上で定義
入fしま閉凸集合
された凸関数のリゾルベント J入fは非拡大写像であり，したがって， FixJ

であるまた，

FixJ
入J=a
rgminf(y)
yEX
であることが知られている．さらに，次の定理が成り立つ．
定理 2(
Kimura-Kohsaka[
6
]
)
.X をアダマール空間とし， f:X→]
o
o
,+
o
o
]を下半連
続な真凸関数とする．入， μ>0に対し，入 f,μfのリゾルベントをそれぞれ J入f
,
J
μ
fとす
るとき，任意の x
,yE Xに対して

d(J
入J
X
,J
μ
J
Y
)
2+d(J
入J
X,X戸
＋ 2入(f(J入JX)-f(JμJY)）
:
:
:
;d
(
J
μ
J
Y
,x
)
2
が成り立つ．
アダマール空間において，有限個の写像の凸結合に類似するものを定義する方法として
以下のものが提案されている．本稿においても，主定理で近似点列を生成する際にこの手
法を採用する．
定理 3(
Hasegawa-Kimura[
3
]
)
. X をアダマール空間とし，各 k=1
,
2
,
.
.
.
,
Nに対して

T
k
:X →X を非拡大写像とする．｛ a1,a2,．．．，仰｝を区

f
=
l

ぼ＝

1をみたす正の実数

とする． xEXに対して，
N

Ux=arg~,in
yEX

L疇
k
=
l

(nx,y
)
2

と定義すると，次が成り立つ．

(
i
) Uxは一点集合であり，したがって U:X→X は一価写像として定義される；
(
i
i
) uは非拡大写像である；
(
i
i
i
)

n
f
=
lFix九が空でないならば Fixu=n
f
=
lFixTk

・

111

3 非拡大写像族の不動点近似
凸関数の最小点近似点列の生成には，凸関数のリゾルベントを用いることで，非拡大写像
の不動点近似に川いられる手法を利川することができるここでは，いわゆる Mann型の
不動点近似点列生成法と， Hasegawa-Kimura[
3
]によって提案された，有限個のリゾルベ
ントの凸結合によって定義される非拡大写像の性質を組み合わせることで，有限個の凸関
数の共通最小点へ△収束する点列の生成をする．次に示す定理では Kimura-Kohsaka[
6
]
および Kimura[
5
]で用いられる手法を利用して証明をおこなう．

.X をアダマール空間とし，｛ f
i
,
h
,
.
.
.
,
J
N
}を X から ]
o
o
,+
o
o
]への下半連
定理 4
続な真凸関数の有限族で， n:=1argminyEXf
k(
y
)/Q
)をみたすと仮定する．各 k =
1,2,...,N に対し，｛椅｝と {aりを正の実数列とする．さらに実数列 {a~} を各 nEN

に対して a~= 1-L:=1akで定義し，これらの数列に以下の条件を仮定する．
•各 k = 0
,1
,2
,
.
.
.
,N に対して i
n
f
n
E
N咋＞ O
;
•各 k = 1
,2,...,Nに対して i
n
f
n
E
N泣＞ 0
.

nENと k=l,2,...,Nに対し， J泣 f
k:X →X を凸関数粋￠のリゾルベントとする．
X
1E Xを任意にとり，点列 {xn}を各 nENに対して漸化式

aryg~閃in （心（xれ9 叶＋ t 叶d(J泣fk咋， y)2)

Xn+lE

によって定義するこのとき，｛％｝はある X
oEnf=largminyEXf
k(
y
)に△収束する．

o
:X →]
o
o
,+
o
o
]を，すべての yE Xで f
o
(
Y
)= 0と定義し，各 nENに対し
証明． J
て入~

=1とすると，リゾルベント J入?
,
J
o
:X →X ば恒等写像となる．これを用いて，写

n:X →X を x E Xに対して
像U
N

Unx=

¥

N

aryg~閃in (a~d(x, y)2十苔徊（J泣 fkx,y)2)= a~,はin と心（J泣fkx,y)2

と定義する．恒等写像は空間全体を不動点とする非拡大写像であることに注意すると，定
理 3から Un:X→X は非拡大写像で，任意の nENに対して

n
N

FixUn=

n
N

FixJ
泣f
k=
arg~_infk(Y)
k
=
l
k
=
l yEX

112
が成り立つ．さらに点列 {
xn}の漸化式は

Xn+l= U立 n
であらわされるここで， p E

n
:
=
largminyEXf
k(y)を任意にとる．広の定義を用いる

O
,1［に対して
と，各 nENと tE]
N

と心（ J泣 fk咋， Unxn)2
k=O

N

<と心（長 fkXn,tUnXn① (
1-t
)
p
)
2
k=O

N

こと a~ (
t
d
(
J
泣f
kXn,U
砂 n
戸
＋（
1-t
)
d
(
J
入h
f
k凸， p
)
2-t
(
l-t)d(UnXn,P
）
戸
N

さと心 (td(J入hfk咋， Un疇 ＋ （ 1-t)d(xn,P)2-t(l-t)d(xn+1,p)2)
k=O

N

:
S
;tと

N

N

心(J入hfk凸， U凸） 2+(
1-t
)と 心 (
x
n
,
P
)
2-t
(
l-t
)と 心 (
x
n
+
1
,
P
)
2

k=O

k=O

k=O

N

= t L心 (J
入
なf
kXn,U
凸） 2+(
1-t
)
d
(
x
n
,
P
)
2-t
(
l-t
)
d
(
x
n
+
1
,
P
)
2
k=O

が成り立ち，よって
N

(
1-t
)と

心(J入
ぢ fk%,U凸） 2

：
：
：

(
1-t
)
d
(
x
n
,
P
)
2-t
(
l-t
)
d
(
x
n
+
1
,
p
)
2

k=O

を得る．両辺 1-tで除して t→1とすることで
N

こ心（ J泣 fk凸， U凸） 2さ d(xn,P)2-d(xn+1,P)2
k=O

が得られる． 0S 区:=Oaな d(J入~fげn,U砂n 戸より

d
(
x
n
+
1
,
P
)
2さ d
(
x
n
,
P
)乞
よって {
d
(
x
n
,
P
)｝は下に有界な単調非増加数列であり，ある
のことから｛％｝は有界であることもわかる．さらに，
a=

min

k
i
n
fan

k=D,1,2,…
， NnEN

Cp EJ
Rに収束するまた，こ

113
とすると，仮定より a>Oであり，
ad(xn,U凸） 2:
:
;a~d(xn, U凸） 2

=a~d(J入~Jo 凸， Unxn)2
N

三と心（ J泣 fkXn,U凸） 2
k=O

:
;d
(
x
n
,
P
)
2-d(xn+1,P
戸→

;
c;
c=0.

よって d
(
x
n
,Un%）→ 0を得る．同様にして， k=l,2,...,Nに対して
ad(J
泣f
k
X
n
,UnXn)2::;心d(J入~fkXn, UnXn)2
:
;d
(
x
n
,
P
)
2-d
(
x
n
+
1
,
P
)
2

→心ー点＝ 0
より， d(J
泣f
k咋
， Un%）→ 0を得る．よって，各 k=l,2,...,Nに対して
d
(
x
n
,J泣 fK%）
さd
(
x
n
,Unxn)+d(U
砂 n
,J
泣 fK%）→ 0

であることが示されたまた，定理 2より

d(J入hfkXn,p戸＋ d(J入~fkXn, Xn)2+2入:(fK(J
入hfkXn)-f
K
(
p
)）：
:
;d
(
p
,X
n
)
2
が成り立ち， l
i
m
い

ood
(J
入
なf
げ

n,Xn)=0より

〇
:
:
:
;f以J泣 % )-fk(P)
d
(
p
,X
n
)
2-d(J
入
なf
k凸
，p
)
2-d(J
入
なf
k咋，％） 2

<

な
2入

d(J
泣f
kXn心
）（ d
(
p
,Xn)+d(J
入
なf
k叫， p
)
)-d(J
入
なf
げn
,X
n
)
2

<

2infmEN入i

→0(n→oo)

を得る．よって
li~fk(J入な fkXn)

n→oo

=fk(P)=yEX
_i~[ fk(Y)

が各 k=l,2,...,Nで成り立つ．ここで，｛％｝の部分列 {
x
n
,
}が zE Xに△収束する
と仮定しようこのとき，再び l
i
m
n→ood(J
泣f
kXn,Xn)=0を用いれば {J
況 fkXni}も
i→

(X)

とすると zに△収束する．また，

となるので，

fが下半連続かつ凸であることから△下半連続

応 ） こ 凰 fk(J
況 fkXni)＝
凰 fk(Y)

114
となり， zE argminyEXf
k(
y
)が得られる．したがって，数列 {
d
(
x
n
,
Z
)｝はある

。

Cz E

J
Rに

収束するよって定理 1より {xn}は△収束し，その極限 x E Xは各 k=1,2,...,N
に対して x
oE argminyEXf
k(
y
)をみたす．したがって

X
oE

百argynE_iX_inf(y)
k

k=l

となり，定理が証明された

ロ

参考文献
[
1
] M. Ba砥 k
, Convexa
n
a
l
y
s
i
sando
p
t
i
m
i
z
a
t
i
o
ni
nHadamards
p
a
c
e
s
, DeGruyter
S
e
r
i
e
si
nN
o
n
l
i
n
e
a
rA
n
a
l
y
s
i
sandA
p
p
l
i
c
a
t
i
o
n
s
,v
o
l
.2
2
,DeG
r
u
y
t
e
r
,B
e
r
l
i
n
,2
0
1
4
.
[
2
] M. R
. Bridson and A. H
a
e
f
l
i
g
e
r
, M
e
t
r
i
cs
p
a
c
e
so
fn
o
n
p
o
s
i
t
i
v
ec
u
r
v
a
t
u
r
e
,
Grundlehren d
e
r Mathematischen W
i
s
s
e
n
s
c
h
a
f
t
e
n [Fundamental P
r
i
n
c
i
p
l
e
so
f
MathematicalS
c
i
e
n
c
e
s
]
,v
o
l
.3
1
9
,S
p
r
i
n
g
e
r
V
e
r
l
a
g
,B
e
r
l
i
n
,1
9
9
9
.
[
3
]T
.HasegawaandY
.Kimura,Convergencet
oaf
i
x
e
dp
o
i
n
to
fab
a
l
a
n
c
e
dmapping
b
yt
h
eManna
l
g
o
r
i
t
h
mi
naHadamards
p
a
c
e
,L
i
n
e
a
rN
o
n
l
i
n
e
a
rA
n
a
l
.4 (
2
0
1
8
)
,
4
0
5
4
1
2
.
[
4
]J
.J
o
s
t
,Convexf
u
n
c
t
i
o
n
a
l
sandg
e
n
e
r
a
l
i
z
e
dharmonicmapsi
n
t
os
p
a
c
e
so
fn
o
n
p
o
s
i
t
i
v
ec
u
r
v
a
t
u
r
e
,Comment.Math.H
e
l
v
.70(
1
9
9
5
)
,6
5
9
6
7
3
.
[
5
] Y. Kimura, E
x
p
l
i
c
i
t andi
m
p
l
i
c
i
ti
t
e
r
a
t
i
v
e schemes w
i
t
hb
a
l
a
n
c
e
dmappings i
n
Hadamards
p
a
c
e
s
,ThaiJ
.M
a
t
h
.
,t
oa
p
p
e
a
r
.
[
6
]Y
.KimuraandF
.Kohsaka, Twom
o
d
i
f
i
e
dp
r
o
x
i
m
a
lp
o
i
n
ta
l
g
o
r
i
t
h
m
sf
o
rc
o
n
v
e
x
f
u
n
c
t
i
o
n
si
nHadamards
p
a
c
e
s
,L
i
n
e
a
rN
o
n
l
i
n
e
a
rA
n
a
l
.2(
2
0
1
6
)
,6
9
8
6
.
[
7
]U
.F
.Mayer,G
r
a
d
i
e
n
tf
l
o
w
sonn
o
n
p
o
s
i
t
i
v
e
l
yc
u
r
v
e
dm
e
t
r
i
cs
p
a
c
e
sandharmonic
m
a
p
s
,Comm.A
n
a
l
.Geom.6(
1
9
9
8
)
,1
9
9
2
5
3
. ...