論文の公開元へ2相熱流の不変等温面と分数冪熱流の不変臨界点 (偏微分方程式の幾何的様相)
概要
1
2相熱流の不変等温面と分数幕熱流の不変臨界点
東北大学・大学院情報科学研究科坂口茂
S
h
i
g
e
r
uS
a
k
a
g
u
c
h
i
GraduateS
c
h
o
o
lo
fI
n
f
o
r
m
a
t
i
o
nS
c
i
e
n
c
e
s
,
TohokuU
n
i
v
e
r
s
i
t
y
本稿の目的は熱流の対称性優決定問題に関する著者と H
.Kang氏 (
I
n
h
a大学）との共
K
S
2
]および著者と N
.DeN
i
t
t
i氏 (
F
r
i
e
d
r
i
c
h
A
l
e
x
a
n
d
e
r大学）との共同研究 [
D
S
]
同研究 [
の一部の概説である。前者においては，ユークリッド空間艮N(N~ 2
)の有界開集合 Q,
Q の特性関数ふと 2つの相異なる正定数匹に対して a
(
x
)＝ 叫 X爪m
)＋び＿（ 1
.
:
t
i
爪x))
とおき， 2相熱方程式切ー d
i
v
(
a▽u
)= 0の初期値 XQに対する Cauchy問題を考える。
叩が
c
2心級のときもし 8Qが常に等温面ならば Q は一つの球に限ることを Serrin
の平面移動法 [
S
e
]を直接 9 と良N ＼りに同時に適用して示す。伝送条件が重要な役割
を果たす。 00がび級のときは，同じ結論が [CMS]の方法を用いて得られる。なお，
[CMS]の方法はまず叩の平均曲率が一定であることを示し， Alexandrovの球面定理
[
A
]を適用するものであった。後者は熱方程式叫ー△u=Oの解 u= u
(
x
,t
)の不変臨
界点 p （
▽u
(
p
,t
)=0
,t>0
) と領域の対称性に関する結果 [
M
S
]を部分的に分数幕熱方
程式切＋（—△）切＝ 0
(
0
合に使えた全ての手法が非局所方程式である分数幕熱方程式に対して使えるとは限ら
ず，新たな困難さが伴う。
1 2相熱流の不変等温面
ユークリッド空間股N(N ~ 2) の m(~ 1
) 個の有界領域 {QJ} からなる有界開集
合
n=
un
jを考える。ある数 0
j=l
豆 n豆 ＝ 0(
ii
-j
) とする。伝導係数
C
l
=び (
x
)(
xE J
R
り を 2つの相異なる正定数
2
び
＿
， 6+を用いて次で定める。
叫
）
＝
［
m
i
f xED=L
J幻
j=l
(
1
.
1
)
i
f X E股N¥[2
このような多相媒質上の拡散問題は既に [CMS,CSU,KSl,S
a
l
,S
a
2
,S
a
3
]で扱われて
いる。関数 u=u
(
x
,t
)を次の初期値問題の有界な一意解とする。
切＝
d
i
v
(
a▽u
) i
n 恥N x(
0
,
+
o
o
) and u = ふ on酎 x{
0
}
(
1
.
2
)
ここで Xoは集合 Q の特性関数である。最大値原理から次が成り立つ。
0
x
,
t
)<1(
(
x
,
t
)E酎
打x
,t
)を次で定める。
(
1
.
3
)
U
，
.J
Q
.J
︱- Z ＼
EE
9
Q
恥
xx
ifif
叫
）
＝
｛
:
+
:
:
:
:
:
m
U
=ー
関数記＝
X(
0
,+
o
o
)
)
(
1
.
4
)
界面 89上次の伝送条件が成り立つ。
叫 如 麗
8u
＝び＿
Ou
and忙 ＝ U― on8Dx(
0
,+oo)
(
1
.
5
)
ここで， v=v
(
x
)(
xE 8D)は 09の単位外法線ベクトルである。このとき，次の定理
が成り立つ。
定理 1
.
1(
[
K
S
2
]
) もし，ある関数 a:(0,+oo)→（
0
,+oo)が存在して
u
(
x
,
t
)=a
(
t
)(
(
x
,
t
)E8Dx(
O
,
+
o
o
)
)
(
1
.
6
)
を満たせば 9 は一つの球に限る。つまり， m =1かつ Q=91は球である。
注意 1
.
28Qがぴ級のときは，［CMS,Theorem1
.
5とその証明 pp. 3
3
5
3
4
1
]の方法
により，仮定（ 1
.
6
)から各 8Di(
j=1
,
.
.
.
,m)の平均曲率は a
(
t
)ば
＋
， 6 _ に依存するあ
l
e
x
a
n
d
r
o
vのシャボン玉定理
る一つの定数となることを示すことができる。従って， A
3
[
A
] より，各叩1(
j=l,...,m)は全て同じ半径の球面となり，さらに， 8Q上の伝送条
件 (
1
.
5
)と 叩 以 外 で の u
(
x
,t
)の xに関する実解析性より， m=lかつ 89が一つの
球面という結論に達する。 [CMS,Theorem1
.
5とその証明 p
p
.3
3
5
3
4
1
]の方法は次の
段階に分けられる。
(
i
) Laplace-Stieltjes 変換叫x) ＝入 J。OO€ ―入tu(x, t
)
d
t（
入
＞0
)による楕円型境界値問
題への帰着
(
i
i
)
a
nの両側近傍での 80への距離関数と仮定 (1.6)を用いた
WKB近似解（優解
と劣解）の構成（ここで，距離関数の 6階微分を用いるために 80が
c
6級であ
るという仮定を必要とする）
(
i
i
i
) 入→＋ o
oの挙動と伝送条件 (
1
.
5
)からの 89の平均曲率一定の結論の導出（こ
こで，入→＋ OO の挙動は t→ +0の挙動に相当することに注意する）
(
i
v
) A
l
e
x
a
n
d
r
o
vのシャボン玉定理 [
A
]の適用
K
S
2
]の方法は次で
これに対して，滑らかさについて 89が c2,a級のみを必要とする [
ある。
。
(
i
) 特に入＝ 1の場合の L
a
p
l
a
c
e
S
t
i
e
l
t
j
e
s変換 v
(
x
)=i
J
O
O
e―t
u
(
x
,t
)
d
tによる楕円
型境界値問題への帰着（ここで，数 1には特に意味は無い。一つの正定数入を
考えるので十分という意味である）
(
i
i
) 仮定 (
1
.
6
) の下での S
e
r
r
i
n[
S
e
] の平面移動法の適用（ここで，界面 8Qのそれ
ぞれ片側から境界上への v のび級境界正則性を必要とし，これは 80が c2,a
級であることで保証される）
2 定理 1
.
1の証明の概略
初期値問題 (
1
.
2
)の解 uに対して，関数 v=v
(
x
)(
xE股りを次で定める。
1
00
v
(
x
)=
パ（x
,t
)
d
t
゜
4
仮定 (
1
.
6
)に鑑み，定数 a
*(
0< a
*< 1
)を次で定める。
J
00
a
*＝
゜
いい
v>
十一
＝た
叫満
叫を
︷す
関 数 臼 ＝ 茫(
x
)を次で定める。
e
―t
a
(
t
)
d
t
m
i
f xEn= Un
j
,
(
2
.
1
)
j=l
i
f XE良N¥O
゜
次
は
＞
土
数
，
関
き
こ
と
の
••••
1,
、
,
1
,
and -〇＿△v―十町＝ 0 i
n記＼豆
av+
OV―
* and び＋
v+= v-= a
＝び＿
on80
8v
O u '
l
i
m v―(
x
)=0
.
O
1, 、
, 、
、
2
31
4
51,
2
222
( , 1 、 ,1、
が く v+< 1 and -c,十△町＋忙＝ 1 i
nD
,
因→ 00
ここで，（ 2
.
2
)と (
2
.
3
)の不等式は最大値の原理から従い，（ 2
.
4
)は界面 89上の伝送条
)の基
件（1
.
5
)および仮定 (
1
.
6
)から従う。また，（2
.
5
)は熱拡散方程式約＝ d
i
v
(
a▽u
本解のガウス評価から得られる。
定理 1
.
1の証明は有界開集合 Q の内部上の関数忙および外部開集合股N ＼り上の
関 数 町 に 同 時 に Serrinの平面移動法を適用することに尽きる。
内部問題について
i
r
a
k
o
v[
S
i
]があるが，同時に
はS
e
r
r
i
n[
S
e
]があり，外部問題については R
e
i
c
h
e
l[
R
]や S
K
S
2
]が初めてではないだろうか。なお，過度境界条件について
適用した例はおそらく [
は
， S
e
r
r
i
n
,R
e
i
c
h
e
l
,S
i
r
a
k
o
vは解および解の外法線微分が定数であるというものであっ
たが，［K
S
2
]においては伝送条件 (
2
.
4
)である。詳しい証明は [
K
S
2
]を参照してほしい。
3 分数幕熱流の不変臨界点
N
.DeN
i
t
t
i氏 (
F
r
i
e
d
r
i
c
h
A
l
e
x
a
n
d
e
r大学）との共同研究 [
D
S
]は複数の問題を扱って
いるが，ここでは有界領域上の初期斉次 D
i
r
i
c
h
l
e
t境界値問題に絞って紹介する。分数
5
幕熱方程式は約＋（一△） 8
U= 0(
0<8 <1
) と書かれる。 G
a
r
o
f
a
l
oによる概説論文 [
G
]
を参照すると
1
(
―
△)
8f
(
x
)= C
N
,
s RN
2
f
(
x
)-f(x+y
)-f(x-y)
￨
y
￨
N
+
2
s
dy
ここで C
N
,
sは正規化の正定数である。 Q を股N (N~ 2
)の Cい級有界領域で 0E0
(
x
,t
) を次の初期斉次 D
i
r
i
c
h
l
e
t境界値問題の一意解とする。
を満たすとする。 u= u
on O x{
0
}
,
u= 0
i
n(
l
R
N国
）
X
••
(
0
,
+
o
o
)
1,
、
U=U
1, 、
,
、
1
21
3
。
i
n Ox(O,+oo),
333
︵
︵︵
切＋（―△） 8u=O
この問題の適切性については [
F
R
]や [
F
K
V
]を参照せよ。ここで，初期関数 u。は特に
次の部分空間 B から選ぶ。
。
B ={u EC
g
<
'
(
B
i
(
O
)
)
1
1
叫
0(rw)dw= 0 f
o
re
v
e
r
yO
sN-1
ただし， 8>0は 凡 (
0
)={
xE 股NI l
x
l<8}C nを満たすとする。 B の積分条件は
b
a
l
a
n
c
elawと呼ばれ [
M
S
]で導入されたもので，発散定理によればすぐに▽u
a
(
O
)= 0
となるための十分条件であることがわかる。このとき，次の定理が成り立つ。
定理 3
.
1(
[
D
S
,Theorem3
.
2
]）▽u
(
O
,t
)= 0(
t>0
,u
0EB)が成り立っための必要十分
条件はある R>Oが存在して n=B
R
(
o
)となることである。
.
2 熱方程式の場合 (
s=1に相当）は [
M
S
]の結果の一部である。
注意 3
4 定理 3
.
1の証明の概略
まず，十分性の証明を考える。 O = B
爪0
) とする。初期斉次 D
i
r
i
c
h
l
e
t境界値問題
(
3
.
1
)
(
3
.
3
)の解 u と入＞ 0に対して，関数叫＝叫 (
.
r
)を次で定める。
叫
(
x
)=
1
0
0e tu(x,t)dt(xE酎）
―入
6
W 入は次を満たす。
。 in n,
(
―
△)
8叫 ＋ 入 叫 ＝ u
i
n 耐＼ Q
叫＝0
叫 ＝ G心と書こう。 G入はこの境界値問題の G
r
e
e
n作用素である。一般の有界領域 Q
に対するこの境界値問題の適切性については [FKV]，解の正則性については [
R
S
,BFV]
を参照せよ。特に入＝ 0の場合の球 n=B
R
(
o
)に対する G
r
e
e
n関数は [
B
u
,Theorem
3
.
1
] を参照して
r
o
(
x
,
y
) t
s
1
G
(
x
,
y
)=K
,
(
N
,
s
)
l
x
y
l
2
s
N1
r
o
¥
x
,
y
J~ d t
(
t+l)N/2
(
4
.
1
)
。
ここで， K
,
(
N
,s
)は N と sにのみ依存する正定数であり，
r
o
(
x
,
y
)=
(
R
2-I
x
￨り(
R
2-I
Y
l
2
)
R筆ー Y
l
2
従って， G
(
x
,
y
)は 3変数関数 G を用いて次の形に表される。
(
4
.
2
)
G
(
x
,y
)=G
(
l
xy
l
,l
x
l
,I
Y
I
)
特に w
o
(
x
)=G
u
o
(
x
)=
J
知 (
D
)G
(
x
,y
)
u
o
(
y
)
d
y(
xE 応 (
0
)）である。
2つの H
i
l
b
e
r
t空
間H
S
(町），か (
Q
)を導入しよう。
ら[
u
,
v
]=f1
2N
x
恥2
N~ d
I
x-Y
I
N
+
2
sd y
とおき，次のように定める。
HS（股門＝ ｛
u€び（股州 I ふ [u,u]
}，か (
D
)={
uEHs恥
（N
)lu三 0i
n股N¥D}
内積
l
u
l
lは共に次で与えられる。
x十ふ [
u
,v
]
,l
l
u
￨
1
2= l
l
u
l
l
i
2
(
J
R
N
)+E
s
[
u
,u
]
RN
補題 4
.
1 ある定数 C。 >0が存在して，任意の入＞ 0 と u€”s(n) に対して，
G四€か (9) となり，
。
I
I
G入U
￨
￨こC ￨
￨
u
l
l
7
証明は
[
F
K
V
]および [
D
S
]を参照せよ。
.
2b
a
l
a
n
c
el
a
wは G = G
。で保存される。つまり， uEか (
Q
)に対して，
補題 4
f
s
N
1wu(rw)dw= 0(
0< r< R) ならば f
s
N
1w(Gu)(pw)dw(
0< p< R) が成り
＇つ。
上
J~1 (
1ー炉） Ni3g(入￨
Y
l
)
d
入と
証明： ［
J
,(
1
.
2
)
,p
.
8
]の積分公式： J炉—, g
(
y・
x)dwx= l
§
N
2
1
(
4
.
2
)を用いて， 0
§
N
1
l
R
=l
§
N
2
1
:
1
t
N
l
d
t
(
1-入りデ叩（
O二 戸 二 応 ， p,t)d入[N-1nu(tn)dn ロ
さて，い＝ G入u。つまり(—△ )8 叫＋入叫＝ Uo は W入＝ Go(uo —入叫）と書けるので，
(I+入G。)叫＝ G。u。となる。補題 4
.
1を用いて，ある定数入。＞〇が存在して
□
=昇-入)kG~+luo
G辺 o=叫 ＝ （
I+入G。 G。
U
o
(0<入<入o
)
従って，補題 4
.
2が使えて， G四 0 (
0 ＜入さ入。）は全て b
a
l
a
n
c
elaw を満たす。次に
入。＜入 ~2 入。に対して同じ議論を繰り返すと
叫 o＝ 叫 ＝
（I+ （入—入o)G入。戸G入。如＝言（入。—入）望t切。（入。＜入::::; 2入。）
0＜入さ 2入。）は全て b
a
l
a
n
c
elawを満たす。これを
従って，補題 4.2が使えて， G辺 0 (
繰り返せば， G辺 0 (
0＜入）は全て b
a
l
a
n
c
elawを満たす。つまり，
1N-lW W入(pw)dw= 0（入＞ 0
,
0
N
1
これは， L
a
p
l
a
c
e変換を通して，次を導く。
1N-iwu(pw,t
)
d
w= 0(
t>0
,0
N
1
故に，発散定理より▽u
(
O
,t
)= 0(
t> 0
)が成り立つ。以上で，十分性の証明が完成
した。
8
最後に，必要性の証明を考えよう。初期斉次 D
i
r
i
c
h
l
e
t境界値問題 (
3
.
1
)
(
3
.
3
)の解 uに
対して，関数 w=w
(
x
)を次で定める。
w
(
x
)=1
(
X
)
u
(
x
,t
)
d
t
有界領域 9の G
r
e
e
n関数 G=G
(
x
,
y
)を用いて，
l
,
r
o
)G(x,y)u0(y)dy(xED)
w
(
x
)=
B
,
(
O
)
従って▽u
(
O
,t
)=0(
t>0
)は
J
0=
立G
(
O
,
y
)
u
o
(
y
)
d
y(
u
oEB)
(
4
.
3
)
恥(
0
)
任意の関数心 E coo(§N-1) で I炉— 1W心 (w)dw =0 を満たすものを与える。さらに，任
意の関数 '
T
/EC
0
(
0
,8
)に対して u
o
(
x
)=r
J
(
l
x
￨）
心
（
凸
） EBを考える。このとき，（4
.
3
)は
［n(r)（
rN-llN-1立 G
(
O
,
r
w
)心(
w
)
d
w
)d
r
0=
従って，
nと心の任意性より，ある N x N行列 M(r)が存在して
▽ 占(
0
,
r
w
)= M(r)w (
y= rwEB
6
(
0
)¥{
O
}
)
(
4
.
4
)
[
K
,P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n2
.
5
]
,[BBKRSV,(
1
.
6
5
)
]）または [
B
l
]の結果より，
P
o
i
s
s
o
nの積分公式 (
▽占 (
0
,y)は yED¥{
O
}について実解析的であり，境界条件から
(
4
.
5
)
▽占 (
O
,
y
)三 0(
yE記＼ Q
)
が成り立つ。熱方程式の場合 (
s=1に相当）は [
M
S
]において， M(r)が具体的に求ま
るのであるが， O
nが存在して，次が成り立つ。
B
R
*(
0
)C D a
n
d P*E8BR*(
0
)n80
背理法を用いて， B
R
・
(
o
)= n を示そう。さて，任意の
W
E§N-1 に対してただ一つ
R
(
w
)>0が存在して，次が成り立つ。
Cw={
r
wE良NIO:
;r< R
(
w
)
}cD a
n
dR(w)wE叩
9
ここで， R
wは線分である。特に P*=R*w*(
w
*=
伍1
)である。また，（4
.
5
)と▽x
G
(
O
,y
)
の実解析性より
0
,R
(
w
)
w
)=0(
wE§
N
1
)
,
▽ エ(
(
4
.
6
)
▽ エ(
O
,
r
w
)は rE (
0
,R
(
w
)）について実解析的である。
(
4
.
7
)
O
)g9を仮定しよう。このとき，ある球 B
c
:
(
Q
)が存在して
B
R
*（
ど＞
0
,瓦(
Q
)cD a
n
d Q E8B
R
*(
0
)nD
さらに，股Nの基底 {
f
i
,
.
.
.
,
f
N
}C §
N
1が存在して，
e
(
R
*+~)Ji E8B
応 十;
(
O
)n8
B
0
(
Q
)(
i=1
,
.
.
.
,N)
2
そこで，任意の w E §
N
1 に対して，ただ一組 (
nぃ．．．，加） €股N ¥{
O
}が存在して
こ:
=
1鳳
W=
E§
N
1 このとき，（4
.
4
) より
N
N
▽x
G
(
O
,r
w
)=M(r)w＝ こ niM（ 鳴 ＝ こ n
ぶ G
(
O
,r
f
;
)(
0
i
=
l
i
=
l
さらに，（4
.
7
)より，
立 ＝
シ
立
G
(
O
,r
w
)
G
(
O
,r
f
』(
0
n
{
R
(
w
)
,R*＋勺）
2
i
=
l
そこで，九 (
r
)＝ ▽ 占 (
O
,
r
f
;
)(
i=l
,
.
.
.
,
N
) とおくと，各 h
;
(
r
)は rE(
0
,R
*+~)につ
いて実解析的である。 C を BR*(O) を含む nnBR＊十 ~(O) の連結成分とすると，
N
＝ど凸 (r)(rwEC)
豆G
(
O
,r
w
)
i
=
l
従って， F=80nCとおくと，（4
.
6
) より
N
区砧 (R(w))=0(R(w)wE F)
(
4
.
8
)
i
=
l
背理法の仮定 B
R
*
(
O
)￡
;D より，ある c
:
*>0が存在して， R
(
w
)の値域は区間 (
R
*
,R*+
e
*
)を含む。従って，（T
/
1
,・
・
・
,T
/
N
)#
-Qであること，各九 (
r
)の実解析性および (
4
.
8
)より，
e
d
e
t
[
h
1
(
r
)
.
.
.h
N
(
r
)
]=0(
0
2
10
特に
0= d
e
t
[
h
1
(
r
)
.
.
.h
N
(
r
)
]= d
e
t
[
M
(
r
)
f
i
.
.
.M(r)f
刈＝ detM(r)det[fi...f刈(
0
従って d
e
t
[
f
i
.
.
.f
刈ヂ〇より
detM(r)=0(
0
これは Green関数の r=I
Y
I→o+での挙動
▽”
G
(
O
,
y
) c
r
N
+
2
s
l
w(
c
/
-O
,
y=rw,wE§
N
l
)
に矛盾する。
5 今後の課題
課題をいくつか挙げる。
(
1
) 定理 3
.
1は斉次 D
i
r
i
c
h
l
e
t条件を扱っているが，斉次 Neumann条件の場合にも同
様な対称性の定理が成り立つかどうか考察する。斉次 Neumann条件の場合の適
切性は論文 [
D
R
V
]で扱われている。
(
2
) 2相熱方程式の場合に定理 3
.
1に相当する結果を考察する。
(
3
) 分数幕熱方程式の解の不変等温面について考察する。
6 謝辞
本研究は JSPS科研費
（基盤研究（ B），課題番号 1
8H01126および基盤研究 (
C
)，課
題番号 2
2K03381) の助成を受けたものである。
11
参考文献
[
A
]
A
.D
.A
l
e
x
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n
d
r
o
v
,U
n
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. 13(
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9
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1
9
5
8
)
,5
8
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n
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: Amer.Math.
S
o
c
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r
.2
,21(
1
9
6
2
)
,4
1
2
4
1
6
. ...
