Convergence of time-changed α-stable processes by GMC (Probability Symposium)

概要

92

C
o
n
v
e
r
g
e
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c
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m
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c
h
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g
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京都大学数理解析研究所大井拓夢＊
TakumuOoi
ResearchI
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,
KyotoUniversity

1 研究の背景
ガウス自由場リウヴィル測度，リウヴィルブラウン運動に関する研究が近年盛んに行われている (
[
1
]
,[
4
]
,
[
9
]
,[
1
1
]など）．また，これらを含むより広いモデルの研究として，分数ガウス場の性質 (
[
1
2
]など）やガウス場
から作られるランダムな測度であるガウス乗法カオス (
G
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l
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v
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,GMC)の構成と性質

(
[
2
]
,[
6
]
,[
1
1
]
,[
1
3
]など）， GMCの収束 (
[
1
0
]
,[
1
3
]など）などが調べられている．リウヴィルブラウン運動は一
様無限三角形分割などのランダムグラフの上のランダムウォークのスケール極限であることが予想され，一部

[
3
]
,[
8
]）ものの， GMCによる時間変更過程の収束に関する研究はガウ
のモデルについては証明もされている (
ス場や GMCの収束についての先行研究と比較するとそう多くはない
本稿では GMCによる時間変更過程の収束に関する取り組みとして，リウヴィルブラウン運動の対称心安定
過程版を導入しそれらの収束について説明する．

2 設定と主定理
この節ではリウヴィルブラウン運動の対称 a—安定過程版にあたるマルコフ過程を導入し，それらの収束に関

する主定理を述べるまずは対応するガウス場，ガウス乗法カオス (GMC)，時間変更過程の設定を述べる．

0
,
2
] と次元 dENに対し，ハースト指数 H :=a/2-d
/
2を定義する． zHを確率空間
パラメータ aE (
(9炉，｛『グ｝ x）上の配上の対称圧安定過程とし，その熱核を p叫t
,x
,y
) と書く．また，入＞ 0に対し zHの

1

入位のグリーン関数を

吠 (x,y):=

00

炉 (t,x,y)e―入t
d
t

で定義する． S（配）を配上の急減少関数全体の集合としたとき，ガウス場 X Hを次で定義する．
定義 2
.
1
.x H:={Xf}tEs（配）を平均 0で共分散核を冠／ 2
成にもつ確率空間 (
O
X
H
,
J
l
'
X
H
)上のガウス場
と定める．すなわち，任意の n2
'
.1と fi,・・・fnES（酎）に対し，（X化
・
・ ・,xf
H
)は OXHX•• • X0豆 上 の
n
確率変数で 1<
~ i
,
j~ n に対し平均 l
E
x [X
引
J
, =0で共分散が

ぃり 7
r
d
/
2
ff戒 (x,y)fi（鴫（y)dxdy

l
E豆 [X x l
=
の多変量正規分布に従うものである．

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k
y
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a
c
.
j
p

賊 dJ
J
!
.
d

93
ここで d=2,a=2としたときの XHが（正質量の）ガウス自由場と呼ばれるガウス場であるため，上の

XHはガウス自由場の圧安定版とみなすことができる．また， H の 0への極限を取ると gfは成へ各点収束
するため，この意味でガウス場 XHは

x
oへ収束している．

次にガウス乗法カオス (GMC) と呼ばれる，ガウス場から作られるランダムな測度について説明する．

GMCはガウス場 X と基礎の測度心と '
Y>0に対して形式的には
exp（
'
Y
X
(
x
)-"
(
2
E
[
X
(
x
)
／
り2)dx
と表現されるランダム測度である．ガウス場は必ずしもランダムな関数としては定まらず，一般にはランダム
な超関数であるためこれはあくまで形式的な定義である特にガウス自由場に対する GMCはリウヴィル測度
と呼ばれ，例えば [
1
1
]ではガウス自由場をランダムな関数で近似し，それら近似列の GMCの極限として厳密

o
g相関を持つガウス場の GMCの構成 (
[
2
]），ヒルベルト空間の内積を共分散に持つ
に構成しているまた， l
ガウス場の GMCの構成 (
[
1
3
]）など， GMCの構成に関する先行研究は多い．本稿でもガウス場 XHを用いて

GMCを定めるが，その構成と性質は共分散核 gfの性質に強く依存している．具体的には， H >0の時には
成は有界であり， XHが各 X E配上で定まるため XHに対する GMCμHは

dげ (
x
):
=exp(1X叫）ー召ExH[X叫） 2
]
/
2
)
d
x
で定義できる．一方で H

(
2
.
1
)

= 0の時には共分散核 gfは非有界だが， x,yに依存しない定数 C を用いて

召
／2
成(
x
,
y
)~ l
o
g
+~+C と評価でき，［2] や [13] を用いることで 1 E (
0
,✓:面）の範囲では非退化な GMC

μ
Oが構成できる．このとき (
2
.
1
)の表記はあくまで形式的な物になる．一方で H < Oのときは共分散核を上か
o
gの関数で抑えられず，非退化な GMCを構成することができない．
らこのような l
対称ひ安定過程の GMCによる時闇変更過程の収束を扱うにあたり， a
-安定過程と非退化な GMCの両方
が存在する範囲で考える必要がある．その範囲は H 20 かつ 0
a=2のみであり収束を考える上では 1点だけでは意味がないため考える範囲は d=lかつ H 20となる．
1
3
]の定理を適用すると次が成立する．
このとき [
命題 2
.
2
.d= l
,1E (
0，⑫）のとき， H¥,Oとすると GMC砂 は 次 の 意 味 で μ
Oに収束する；

任意の fE Cc（恥）に対し， ffdμHは ff
dμ0へ分布収束する．

注 2
.
3
. 命題 2
.
2は ￡
1
r
e
g
i
m
e:1E (
0
,《面）での主張である．
次に時間変更過程について簡単に紹介する（正確な定義などは

[
5
]
,[
7
]
,[
1
4
]などを参照のこと）．

よく知られた結果として， PCAFと滑らかな測度の間にはルヴューズ対応と呼ばれる 1対 1の対応がある

(
[
5
,Theorem4.1.1]

など）．ここで， PCAF （正値連続加法汎関数）とは [O,oo) —値の非減少で連続な確率過程

で，更にいくつかの条件を禍たすものであり，滑らかな測度とは容量 0の集合で値が 0になる正のボレル測度
で更にいくつか条件を渦たすものである． GMCμHI
まl
P
'
x
H_
a
.
s
.で滑らかな測度になることがわかるため，対
応する PCAFAH={
A
{
f
}
t
;
;
,
oが l
P
'
x
H
_
a
.
s
.で存在する．この A
{
fの具体的な表現は次のようになる．

J
t

A9=

exp(1炉 (Zf)-,2か り 炉 (Zf)門
／2
)
d
s
.

(
2
.
2
)

゜

ただし (
2
.
2
)は H>Oのときには正確な表示であるが， H = Oのときにはあくまで形式的な表現である．この
とき時間変更過程を次のように定義する．
定義 2
.
4
. (AH炉：＝ inf{s>O:Af>t}に対し，坪：＝ Z仇 り 口 と 定 め た がI を zHの AH（あるいは
げ）による時間変更過程と呼ぶ．

94
d=a=2のとき XHはガウス自由場研はリウヴィル測度であったが，このときの zHがリウヴィルブ
ラウン運動と呼ばれている．従って各 zH はリウヴィルブラウン運動の a—安定過程版に当たるマルコフ過程
であると言える．
炉は右連続で左極限を持つマルコフ過程であるため，右連続で左極限を持つ関数全体の集合に値を取る確
位相を導入
率変数とみなすことができる．また，右連続で左極限を持つ関数全体の集合上にスコロホッドの Jr
することができる (
[
1
5
]）．これらの設定の下で，次が本稿の主定理である．

.
5
.d= 1のとき，任意の xE Rと 1E(
0
,1
)に対し H ¥
,
,0の極限を取ると zHは zoに分布収束
定理 2
する．
注 2
.
6
. 定狸 2
.
5は ￡
2
r
e
g
i
m
e:1E(
0
,v
'
d
)での結果である．
注 2
.
7
.H

>0のとき，安定過程 zHは 1点の容星が正であるという性質（強い再帰性）を持ち，ガウス場

X Hはランダムな関数になり， GMC砂はルベーグ測度に対し確率 1で絶対連続となる．一方で H = Oのと

° はランダムな関数ではなくランダムな超関数であり，μ°はルベーグ測度に
きは zoに強い再帰性はなく， X
対し確率 1で特異になる．このように H = Oで大きく性質が変化するにもかかわらず Z互 X互μ凡 zHはそ
れぞれ（適当な意味で）収束する．
注 2
.
8
. マルコフ過程が分布収束し，その滑らかな測度も漠収束していても，一般には，対応する PCAF
や時間変更過程は収束するとは限らない．実際， zn=z を R 上のロードマップ 8
_
Xでスピード関数 1
のr
e
g
u
l
a
rs
t
e
p過程 (
r
e
g
u
l
a
rs
t
e
p過程については [
5
,§
2
.
2
.
1
]を参照のこと）としてマルコフ過程を定め，

dμn:
=(
s
i
n(
n
x
)+l
)
d
xとして滑らかな測度を定めれば，リーマン・ルベーグの補題から dμnは dxへ漠収束
するが，対応する PCAF{Af＝は（s
i
n
(
n
Z
s
)+l
)
d
s
}
tしま分布収束せず，これらの時間変更過程かt も分布収
束しない．更に｛が｝れと｛か｝ n のそれぞれは，どのスコロホッド位相に対しても緊密ではなく，各時刻を止
めるごとに分布収束もせず，従って有限次元分布収束もしない．

3 定理 2
.
5の証明の概略
この節では主定理 2
.
5の証明の概略を述べる．まず準備として [
1
3
]による構成を参考にして {XH}Hを 1
つの確率空間（ Q叉l
P
'り上に次のように構成する． H ：＝び（恥十

X 民）に対しその L2＿内積を共分散に持つ確率

P
'
x
)上のガウス場 X :={Xdsrnを定義する．線型作用素を
空間（ Q又l
yH:1{,ぅ
＜ →JJOOe―入t
/
2炉 (
t
/
2
,,
・y)W,y
)
d
t
d
yE￡0（
股
）
RJO

として定義する．ここで， L
o
(
J
R
.
)は可測関数全体の集合で，局所的な測度収束の位相を導入する．このとき，閉
グラフ定理を用いると任意の JES（民）に対し fYHfE1iが存在し，更に gES（民）に対し

〈
Jy
門
， J 戸 g圧＝

f
f戒

(
x
,y
)
f
(
x
)
g
(
y
)
d
x
d
y

を満たす．従って XJyH. は X Hと同分布．主定理は分布収束に関する主張であるため，特にこのようにして
構成した X Hを用いても一般性を失わない

[
1
5
,
確率過程の分布収束は緊密性と有限次元分布収束の 2つの条件と同値であることが知られている (
Theorem1
1
.
6
.
6
]）．そのため，組 (Z凡 AH)の緊密性と (
z
o
,
A
o
)への有限次元分布収束を示すことが大きな H
標である．以下が証明の手順である．

l
.zHは zoに分布収束する．

95
2. 各 T~O に対し A!f はある確率変数 AT へ分布収束する．

3
. {(AH戸｝ H はスコロホッドの M1-位相で緊密である．ここで M1位相は右連続で左極限を持つ関数全体の
空間上の位相であり，

A-位相よりも弱い位相である（詳しくは [
1
5
]を参照のこと）．

4
.｛伊｝ H もスコロホッドの M1-位相で緊密である．
5
. {A門 H と {(AH戸｝ H それぞれの部分列極限は確率 1で連続かつ狭義単調増加
6
. ｛伊｝ H と {(AH)一1拉はそれぞれじ位相で緊密である．ここでじ位相とは広義一様収束の位相である．

7.{（炉， Aり｝ H は J1 X じ位相で緊密である．
8
.A と同分布な PCAF.Aが存在し μO と対応する．これにより Ao と A は同分布．
9
. (Z圧 伊 ） は (zo,Ao)に zoが確率 1で連続になる時刻の集合上で有限次元分布収束する．
1
0
. (Z互AH)は (zo,Ao)に J1 X じ位相の下で分布収束する．
1
1
. が1 はかへ分布収束する．
1
.は良く知られた古典的な結果である． 2
.はグリーン関数の具体的な性質やアスコリ・アルツェラの定理，
占有測度を基礎に持つ GMCの収束などを利用して示すことができる．より具体的には zhのディリクレ形
式の下での μHに対応する PCAFAH,hを導入すると AH,Oは zoの占有測度を基礎に持つ GMCとみなせ
るため

[
2
]
,[
1
3
]や同様の方法で， Aば'°はある確率変数 ATに分布収束するまた，有界リプシッツ連続関数

F:尺→民に対し％（ H）を H > Oでは l
E
x
[
F
(
A四）],H = Oでは l
E
x
[
F（ふ）］として定め，｛％｝ h が同程度
連続であることをグリーン関数の性質などを用いて示す．アスコリ・アルツェラの定狸と

ah の各点収束から

一様収束が従い，その結果 aH(H)は a
o
(
O
)に収束する． 3
.は 2
.と M1-｛立相での緊密性の同値条件から従い， 4
.
も同様に従う． 5
.は PCAFの性質やガウス場 X Hの定常性と X Hと zHの二重のランダム性を用いて示すこ
とができる． 6
.は 3
.
,4
.
,5
. とスコロホッド位相の基礎的な性質から従う． 7
.は 1
.と 6
.から直ちに従う． 8
.に

1
,AppendixA
]の方法を参考にして具体的に A を構成し，その後 μHの収束や AHの分布収束を利
ついては [
用して A と μOが対応することが示される． 9
.は (Z¥AH,h)を zhの関数とみなし連続写像定理を用いれば，

.と同様の方法で証明できる． 1
0
.は 7
.と 9
.から直ちに従い， 1
1
.は逆写像を取る操作のスコ
残りは基本的に 2
[
1
5
,Theorem1
3
.
2
.
2
]
)から従う．
ロホッド位相での連続性と合成関数に関するスコロホッド位相での連続性 (
注 3
.
1
. 上の証明の 2・と 9
. で a-安定過程の具体的なグリーン関数や熱核の性質を用いている．具体的には
次の性質である；
ある定数 c~o が存在し，任意の x,y EJ
Rと H1,H2>0に対し

=
:
1
=t
f
R砂

g炉叫x
,y
)

oo

e―入

(
t
/
2
,x
,z
)砂 (
t
/
2
,
z
,
y
)
d
z
d
t≪
:
:g奴x,y)+C

が成立するまた， H1,l
ら の 0への極限を取ったとき g
f
1
,
H
2
(
x
,
y
)は 成 (
x
,
y
)に各点収束する．
界の収束な
一方で，その他の部分では二里のランダム性や測度 μHの分布収束や（ 2．に由来する） PCAFA
どを主に利用しているため，モデルに依存した具体的な性質はあまり利用していない．そのため確率過程のグ
リーン関数や熱核に適切な仮定を箇くことで，もう少しだけ一般のモデルに対して GMCによる時間変更過程
が
， 2次元の場合にはリウヴィルブラウン運動へ， 1次元の場合には本稿の主定理の
ことができる．

謝辞
本研究は JSPS科研費 JP21J20251の助成を受けたものである．

z
oへ収束することを示す

96

参考文献
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0
) ，朝倉書店， 2
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2
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.
[
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5
] W.WHITT,S
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