論文の公開元へStokes方程式の初期値問題に対するBMO最大正則性について (関数空間論とその周辺)
概要
236
Stokes方程式の初期値問題に対する BMO最大正則性について
小川卓克（東北大・理／数理科学連携研究センター）
1
1
. 放物型偏微分方程式の初期値問題と最大正則性
1
.
1
. 放物型方程式の最大正則性． Banach空間 X において次の抽象発展方程式の初期値問題を考
える：
｛
皇
＋
Au=f
,
tEI,
(AC)
u
(
O
)=u
oEX,
ここで u= u
(
t
)は I→X に値を取る時間変数 tEIの函数であり， I =(
0
,T) は T
'
.
'
:
'
.
:o
oとし
た時間区間， A は X 上の閉作用素であり，具体的には X を L
e
b
e
s
g
u
e空間 E （町）に定めた際の
2階楕円形作用素などを表す．初期値問題 (AC)に対する最大正則性とは外力 fを B
ochner空間
LP(I;X)に与えたときに解 uが得うる最大の正則性を不等式の形で示したものである． Aの X 上
での定義域を D(A)とおき， B
(
X
)
0
,
1
1
/
p=(
X
,D(A))0
,
1
1
/
pを X との実補間空間とすれば最大
正則性は
1
'
.
'
:
'
.
:p
'
.
'
:
'
.
:o
oにたいして
I
I
誓LP(I;X)+IIAullLP(I;X)'.':'.:CM(lluolls(x)0,1_11P+IIJIILP(J;x))
(MR)
で 与 え ら れ る こ と と な る こ こ で CMは f
,u。に依存しない定数である．これは方程式の右辺で
ある外力と同一の正則性（可積分性）を左辺の各項が保つことを意味しており，双曲型偏微分方程
式の初期値問題のごとく，左辺の各項の特異性をキャンセルして方程式が成り立っていると言うこ
とが起こらないことを意味するこの評価は L
a
p
l
a
c
e変換を通じて定常問題の楕円形正則性評価
である，いわゆる楕円形び評価と結びつき， L
a
p
l
a
c
e変換を通じた発展方程式の一般論に対する強
力な主張を誘導する (
[
1
]
,[
3
]
,[
1
5
]
[
1
8
]
,[
2
4
]
,[
3
0
]
,[
5
8
]
)
.
とりわけ Banach空間 X が無条件 m
a
r
t
i
n
g
a
l
e差型 (
U
n
i
c
o
n
d
i
t
i
o
n
a
lM
a
r
t
i
n
g
a
l
eD
i
f
f
e
r
e
n
c
e
s
,
以下 UMDと呼ぶ） Banach空間である場合，時間指数が l
(MR)は無限次元空間 X における H
o
l
m
a
n
d
e
r
M
i
k
h
l
i
n型の F
o
u
r
i
e
rかけ算作用素に関わる L
P
(
I
)
有界性により与えられるすなわち最大正則性成立の必要十分条件は作用素 A の r
e
s
o
l
v
e
n
tの族
T
1
(
T
)三 A(T+A)-1 と T
2=T8
乳(
i
T+A)-1(
T
c
/
=0
)に対する冗有界性が成り立つこと，すなわ
T
1
,
T
2
,
・
・
・
,
T
N
}C J
Rと {
u
1墨 2・
・
・,uN}C X に対して｛巧｝芦 1
ちある C >0が存在して，任意の {
をR
ademacher直交系として，
［シ
［立
t
)
T
e
(
T
j
)
U
j
1
1
:
d
t
'
.
'
:
'
.
:C
j=l
j
(
t
)
u
j
l
l
x
d
t
j=l
が￡ = 1
,
2に対して成り立つと同値であることが知られており (
W
e
i
s[
5
8
]
)
,X が UMDの枠組みで
は初期値問題はもとより初期値境界値問題など多くの問題に有効な評価 (MR)が直ちに導かれる
こととなる．
1本研究は日本学術振興会科学研究費補助金，基盤研究
S#19H05597の支援を受けている．
237
他方， X が UMDであれば必然的に回帰的となるため (
R
u
b
i
odeF
r
a
n
c
i
a[
5
3
]
,c
f
. Amann[
1
]
)
非回帰的な Banach空間では UMDとならない．したがって非回帰的 Banach空間上での最大正則
性の成立は各論に依るところとなる特に L1などの空間では最大正則性の非成立が知られており，
斉次 B
esov空間
B如（股門
(
D
a
n
c
h
i
n[
1
2
]
,[
1
3
]
,[
1
4
]
,Ogawa-Shimizu[
4
4
]
,[
4
5
]
,[
4
6
]
)modulation
空間 M
;
,
1（即） （
I
wabuchi[
2
5
]
)
,F
o
u
r
i
e
r
S
o
b
o
l
e
v空間 H
p
(
J
R
n
)(
I
w
a
b
u
c
h
i
T
a
k
a
d
a[
2
7
]），あるいは
Radon測度の F
o
u
r
i
e
r像の空間 F M（民門 (
G
i
g
a
S
a
a
l[
2
3
]）と言った空間での最大正則性の成立
が示されているこうした背景の上で，以下では非回帰的 Banach空間の例の一つである有界平均
t
o
k
e
s方程式の初期値問題に対
振動のクラス EMO（町）における，熱方程式の初期値問題及び S
する最大正則性について議論するなおここで取り上げた空間とはわずかに異なる空間における
EMO最大正則性が A
u
s
c
h
e
r
F
r
e
y[
2
]によって議論されている．
1
.
2
. 非圧縮性粘性流体方程式の臨界適切性．有界平均振動 EMO（賊門における最大正則性を議論
する動機として以下の流体の運動方程式の適切性の問題が挙げられる．非圧縮性粘性流体のダイナ
＝
t>0
, X E膨
尺
ノ
゜
.lv0
，
p
▽
゜
＋
，
︶
y
u
▽
u
5 几︳︳
＋ ︱-︶
u u ,y
△
-du
u
a
t
︷
ミクスを記述する運動方程式として Na
v
i
e
r
S
t
o
k
e
s方程式が知られている．流体の流速を u
(
t
,
x
)
:
恥 x即 → 町 (
n=2
,
3，・・・）圧力を p
(
t
,
x
)：股十 X 町→民としたときこれらを未知関数とす
る非圧縮性流体の運動は以下の Na
v
i
e
r
S
t
o
k
e
s方程式で記述される：
X E股
尺
(
1
.
1
)
X E股
叫
流体方程式の実学上の応用に際しては，有界領域や半空間，あるいは外部領域などそれぞれの問題
に適した，領域を設定して考察することが重要であり，実際のモデルにおいてはそこから様々な現
象が導かれるが，そうした問題の甚本となるべきやや理想的な設定が上記の問題に初期条件のみを
与える初期値問題を考察することである
Na
v
i
e
r
S
t
o
k
e
s方程式にはその解を不変にする伸長作用（以下スケーリングと呼ぶ）が存在する．
すなわち仮に (
u
,
p
)が問題 (
1
.
1
)の方程式部分のみを満たすものとすると，次のスケール変換によ
り与えられた新しい函数の組み（ぃ， p
）
入
{u
(
t
,
y
)→ 叫t
,
x）三入u（
炉t
，
入x
)， 入＞ 0
,
t
,x
)三炉p（応，入x
)
.
p
(
t
,y
)→ P入(
(
1
.
2
)
は再び問題 (
1
.
1
)の方程式を満たす，すなわちスケール変換 (
1
.
2
)は Na
v
i
e
r
S
t
o
k
e
s方程式を不変
に保ち，この変換で不変となる函数空間，特に問題（ 1．
1
)の軟解（積分方程式を B
ochner空間で満た
ochner空間のクラス LP（股サ H以股叫股n
)
)では，指数の組みが
す解）を得るのに自然な B
2 n
—+
-＝ l+s
p p
を満たすとき，不変スケール (
1
.
2
)によりその normが不変となる臨界空間となる． Fujita-Katoに
よる著名な結果 [
2
1
]に従えば，こうしたクラスでの可解性の議論が童要であるこのような空間で
考察することにより初期値問題の初期条件の大きさに依存しない時間局所的な可解性と，初期条件
の小ささを仮定した上での時間大域的な可解性を同時に得ることができるからである．
238
発展方程式論の立場からは， p =00 と選んで初期条件と各時刻における解の属する空間を同一
に取る制約（解の連続性・統徹性）をおくと可微分性と可積分性を表す指数に対して以下の条件が
課される：
n
+p
．
災 ＝ ー1
これにより考えるべき函数空間は S
o
b
o
l
e
v空間であれば H
2
1十'
i
(
R
庄R門あるいは Lebesgue空間
o
b
o
l
e
v
であればか（町；町）であることがわかる．この方針に甚づいて，解の存在する基礎空間を S
空間 H打配） （
F
u
j
i
t
a
K
a
t
o[
2
1
]）やび（町） （
Kato[
3
2
]
)に選ぶあるいはより広い空間である斉
次 Besov空間 B
品（町） （
Cannone[
8
]
,Cannone-Planchon[
9
]
,Planchon[
5
0
]，定義は [
4
]参照）や
Morrey空間 (Giga-Miyakawa[
2
2
]），あるいは Morrey-Besov空間 (Kozono-Yamazaki[
3
5
]）に拡張
する試みが続けられてきた．
このように解の属する空間をスケール不変性を維持しながら拡大したいと言う意固は，スケール
不変性を保つ空間で解を構成することにより，多くの場合に解の正則性を伴うことができるため，
古典解や強解といった取り扱いの比較的容易な解を見いだすことが自然にできるという点がある．
上記のスケール不変則 (
1
.
2
)の観察によりたとえば空間 2次元のユークリッド空間における初期
生配）であることと，解のび normが流速の運動エネルギーの有
値問題は流速の臨界空間がび (R
限性：
l
l
u
(
t
)
I
I
§ +2[ 1▽u
(
s
)
l
l
§
d
s:
Sl
l
u
o
l
l
§
（ただし ・
Il
l
2は 配 上 の L2-normを表す）により時間大域的な強解の存在が導かれる．こうした解
空間 X の拡大は最終的に Koch-Tataru[
3
3
]によりなされ，小さい初期値に対して
C
(
[
O
,o
o
)
;EMO
紅
し
（
限
包
）
） nC((O,oo);L00(
限
包
）
）
c
f
. Iwabuchi-Nakamura[
2
6
]
．
） また斉次 Besov空間での端点指
でその適切性が示されている (
数空間
Bるし（町）
（
1:
:
;
び
:
:
;oo) での初期値への連続性が破綻する非適切性の結果が知られてい
る(
B
o
u
r
g
a
i
n
P
a
v
l
o
v
i
c
z[
7
]
,Wang[
5
6
]
,Yoneda[
5
9
]）．以上のように，非圧縮性粘性流体に対する
Na
v
i
e
r
S
t
o
k
e
s方程式の初期値問題について，有界平均振動のクラスが，その臨界適切性と密接に
関わることが知られており，そうしたクラスでの最大正則性を議論しておくことは関連する問題を
考察する上では重要な役割を演ずることが期待される．
1
.
3
. 移流拡散方程式の臨界適切性と特異極限． BMO（政門における最大正則性を示すもう一方の
動機として半導体などを記述する移流拡散方程式 (Mock[
3
8
]）あるいは，タマホコリカビなどの走
化性を持つ粘菌のダイナミクスを記述する運動方程式として P
a
t
l
a
k
K
e
l
l
e
r
S
e
g
e
l方程式の初期値
問題の適切性があげられる (
[
3
1
]
,[
4
9
]）．粘菌の密度を u
(
t
,x
)
:R+x民n →艮＋ （
n=2,3,•••) 化学
（電気）ポテンシャルを心 (
t心
） ：股十
X 股n →政としたときこれらを未知関数とする粘菌の運動は
以下の方程式で記述される：
{
:
T
。ー：二::．▽心） ＝0，
u
(
O
,x
)=u
o
(
Y
)， 心 (
0
,x
)＝ゆo
(
x
)
t>0
, X EJ
R
.
叫
t>0
, X EJ
R
.
叫
X EJ
R
.
叫
(
1
.
3
)
239
ここで T>Oは緩和時間パラメーターで，ポテンシャルのダイナミクスが粘菌のそれに比べて著し
→00の極限を考えることとなるまた K は系の誘引系か反発系かを区別する
く遅い場合には，
T
パラメータで，
=1の場合走化性モデルのような誘引系をまた代＝ー 1の場合は半導体モデルの
K
,
ごとく反発系を表す．
このモデルにもスケール不変性が備わり，以下のスケール変換で方程式は不変となる：
{u(t,y)→m(t,x）三心（応，入x
)， 入＞ 0
,
心(
t
,y
)→ む (
t
,X
)三ゆ（応，入x
)
.
(
1
.
4
)
したがって対応する不変空間は指数
2 n
—+
-＝2+s
p p
特に p =CX) の場合
n
+p
S c =-2
となる．心のほうについては
2 n
—+
-＝o+s
p p
となり p=00の場合，
n
p
S c =-
- 2 + 2 .
-2+2
を与えるこのとき密度 uの不変空間としては Hp,p（野りあるいは Bp
び
， p
(野りなどが考えられ
るが，とりわけ可微分指数 s=Oとなる， p=?の場合に興味があるこれは K
e
l
l
e
r
S
e
g
e
l系の主な
モデルが空間次元 n=2に限られるからであり，さらに初期値に正値性を仮定することにより，系
の総質量である l
l
u
(
t
)1
1
1が保存されて初期値のそれ l
l
u
o
l
l
1と一致することとなるが， n=2ではこ
c
a
l
i
n
g不変量となるためである．そして初期総質量の大きさにより解が有限時刻で爆発す
の量が s
るか時間大域的に存在するかの閾値枷が与えられる (
[
5
]
,[
6
]
,[
1
1
]
,[
2
8
]
,[
3
9
]
,[
4
1
]
,[
5
7
]）．このとき
ポテンシャルに対する不変スケールは I
I
心(
t
)l
l
o
o となるわけではあるが，楕円形正則性の端点評価
T→
の場合に期待できず，最大でも心 (
t
)EE M O（配）が
→ などのような特異摂動を考察する上では正則性の議論に
に対応し，一般に心 (
t
)EL
0
0
(配）は
得られる限界となる．したがって
T
(X)
(X)
3
4
]
,Kurokiba-Ogawa[
3
7
]
有界平均振動のクラスが自然に導入される (Kozono-Sugiyama-Yahagi[
s
e
ea
l
s
o[
4
3
]
)
.
2
. E M O空間と CHMIN-LERNER型空間
2
.
1
. 有界平均振動のクラス．以下で B M Oに属す函数のいくつかの性質を概観し， B M Oと同値
な normを列挙する．
定 義 即 上 の 可 測 函 数 fが有界平均振動のクラス B M O（町）に属すとは
l
l
!
I
I
B
M
O三
1
sup
l
f
疇 咽 ＞0 I
B
州
ここで 和（x
) は fの球 BR上の平均：
知(
x
)
f
(
y
)-f
知 (
x
)
Id
y<00,
J
f御 (
x
)＝ ￨
B
R
￨
転 (
x
)f
(
y
)
d
y
.
240
上記の定義による l
l
・
I
I
B
M
Oはすべての定数に対して 0となるので， s
e
m
i
n
o
r
mとなる．このため函
数解析的な整合性を得るには BMO（初）に定数差を法とする滴空間を導入して normと な る こ
anach空間となる
のとき EMO（町）は B
EMO（即）に属す典型的な函数は l
o
g国 で あ る こ の こ と か ら L
°
°
(町 )<;;;EMO（町）となる．
e
m
i
n
o
r
mの同値表現について言及する．まず平均差分は
以下で EMOの s
4
r
i
r
=
4心
（
=
4
(心
叫 2tRl
f
(
x
)-f
(
y
)
l
2
d
x
d
y丁
LRl
f
(
x
)
-可 ￨
2
d
x
JBR￨
f
(
a
・
)
￨
2
d
x-2
f
B
R1
;
R
￨J知知） dx+fBR2)
BR
LRl
f
(
x
)
l
2
d
x￨広 ￨
2
)
~4 戸
LRl
f
(
x
)-f
(
y
)
l
2
d
x
d
y
BR
と表されることから
~ x~唱。 (|B1R| J
l
l
fI
I
B
M
O
知
T
E
;
:
;
f
)
(
x
o
)l
f
(
x
)
l
2
d
x-
である．さらに O
C
X
B
n
;
2(
x-x
o
):
S佃 (
x
):
SCXBn(x-x
o
)
(
2
.
1
)
を満たすなめらかな c
u
t
o
f
f函 数 加 (
x
)を考える．ここで X
A
(
X
)は A上に台を持つ特性関数を表
すものとする．
c
l
B
R
;
2
I<
:
:l
l
r
J
R
l
l
1<
:
:GIER
である以下簡単のために c=C =1とするこのとき明らかに
(
2
.
2
)
I
B
R
;
2
I<
:
:llrJRII~ <
:
:l
l
r
J
R
l
l
1<
:
:I
B
R
I
が成り立つ．このとき (
2
.
2
)より
1
1
2
叫B
R
/
2
￨J
B
R
/
2
(
x
o
)￨
f
(
x
)-J
疇 dx= ￨
B
R
￨J
B
R
/
2
(
x
o
) f(x)-J
疇 dx
5 l
f
l
l
r
J
R
l
l
1
い
<￨B
― 2 (
l
f
(
x
)-!叫佃
x
)
d
x
即
f
J転 (
x
o
)l
f
(
x
)-JB
記d
.
Tく 2
n￨
B
R
￨
辟
(
x
o
)l
f
(
x
)-JB
記 dx
従って (
2
.
1
)
(
2
.
2
)の設定で以下が成り立つ．
補題 2
.
1
.fE EMO（町）とするこのとき
叫
）
― 1￨￨f￨￨BMOS
f叩）— 1Bl2TJ記）dx)
―
Sup ( l
x
o
,
R
>
o ￨
￨
T
/
R
￨
￨
l
が成り立つ．
2
即
1
1
2S2~ I
I
J
I
I
B
M
O
241
命題 2
.
2
.任意の l
:
'
.
:
:
p
<
o
o と fEBMO（町）に対して
1
/
p
塁
似
。
（
瓦
戸 f(xo)x
1
I
I
J
I
I
B
M
O
p=x
o
E
としたとき，
底
(
x
o
)l
f
(
x
)-f
(
y
)
I
P
d
x
d
y
)
舷
ある定数 C>Oが存在して
c-1I
I
J
I
I
B
M
oさ I
I
J
I
I
B
M
O
p:
'
.
:C
I
I
J
I
I
B
M
O
が成り立つ．
命題 2
.
2の証明． 1さ p<00 を任意に固定する．後述の古典的な J
o
h
n
-N
i
r
e
n
b
e
r
g評価 (
4
.
1
)から
闊
髯
。
（
土J
(
x
o
)I
J
(
x
)-T
s
訊 dx)l
/
p
I
I
J
I
I
B
M
Oc
:
=
=x
o
E
知
となることが知られている．従って
1
/
p
(
i
i
ii
I
I
J
I
I
B
M
O
pc
:
=x
o
E
i
?
R
>
O
麻
(
x
o
)l
f
(
x
)-l
s
;
,
I
P
d
x
)
ロ
を示せば良い．
これは以下の評価から従う：
.
3
.1sp<00 に対して fEL
に（応町）とする．このとき
補題 2
心
（J IJ(x)-~)叫Pdx)
知（エo
)
いf
1
/
pく (￨B
知
(
x
o
)
x邸 (
x
o
)I
J
(
x
)-f
(
y
)『dxdy)l
/
p
J
S2(
￨
B
R
￨
が成り立つ．ここで
加工＝
疇
o
)l
f
(
x
)一 戸 ぃ Pdx)1
/
p
f
l
f
(
y
)
d
y
￨
B
州 転(
x
o
)
は fの B爪x
o
)での積分平均．
補題 2
.
3の証明． f
(
x
)=(
f
1
(
x
)
,h
(
x
)
,・
・
・
,f
n
(
x
)）として lSpく ooに対して，
￨
B
州
f
知
(
x
o
)I
J
(
x
)-T[xJBR『
dx=￨
B
州
f（
芦
（
応
）
― f
J区
（
心J
=1
R
￨
知
(
x
o
)
辟
(
x
o
)
￨
B
R
￨
邸
御
(
x
o
)f
k
(
y
)
d
y
)2
)p
/
2dx
）
り
(
x
o
)(
f
k
(
x
)-f
k
(
Y
)
p
/
2dx
（内側の y積分で C
auchy-Schwartzの不等式を用いて）
心J （
芦
心J
s
知
(
x
o
)
知
p
/
2
(
x
o
)(
f
k
(
x
)-f
贔
）
） 2dy)Pl~ dx
242
心
（
1
s￨
B
R
￨J
麻 (
x
o
)
p
/
2
J転 (
x
o
)l
f
(
x
)-f
(
y
)
l
2
d
y
)Pl~ dx
（再び内側の y積分で p
/
2
p
/
(
p
-2
)の H
o
l
d
e
rの不等式を用いて）
1
ff
=￨
B
R
￨
2
御
(
x
o
) 珈（知）
￨
f
(
x
)
-f
(
y
)『
d
x
d
y
.
他方後半の不等式は三角不等式から
1
/
p
いff
（
=い
(￨B
知
(
x
o
)知
|f(x〗一戸＋戸—f(y) 『dxdy
I
J
(
x
)-f(yWdxdy
(
x
o
)
￨
B J転 (
X
o
)J知 (
x
o
)
1
/
p
こ
（
土 J (xo)J (mo)￨f(x)-f(Xo)『dxdy)1/P)
（
土
fxo)f
￨
f
(
X
o
)-f
(
y
)『
dxdy)l
/
p
￨
B
研 知(
JB o
)
=
(
w
;
JLR(xn)lf(x) 一戸〗BR 『dx
知
知
＋
叩
＋
（叫〗Bx:)m)
□
￨
f
(
X
o
)卯 ― f
(
Y
)
￨
P
]
/
;
p
1
/
p
EMOの normにおける b
a
l
]は c
u
b
eに置き換えることができるこれはあとで用いる C
a
l
d
e
r
o
n
Zygmund分解を適用する上で有益である．
.
4
.Q紅 o
)を中心 X
oE図，一辺が 2Rの n次 元 超 立 方 体 {
h
y
p
e
r
c
u
b
e
)とする．
補題 2
闊
似
。
（
心
I
l
l
!恥。 ...
