弱型Burkholder不等式の成り立つ関数空間 (関数空間論とその周辺)

概要

22
弱型 B
u
r
k
h
o
l
d
e
r不等式の成り立つ関数空間
富山大学学術研究部理学系
菊池万里

1 導入
本稿を通して

(
0
,:E,P)

を非原子的確率空間とする． E の部分 a—代数の広義増大列げ＝（況n)nEZ+

:
J
'
=（訊砂 El
Fに対し
:
J
'
)で表し，一様可積分な f= U
n
)
n
E
Z
+EM の
て，びと Pに関するマルチンゲールの全体を M （
'
.
J
'
E
I
F
M
(
:
J
'
)
, Mu=u
'
.
J
'
E
F
M
U（のと置く．すなわち， M 及
全体を Muぽ）で表す．更に M = u
び Muは，それぞれ何らかのフィルトレーションに関するマルチンゲール及び一様可積分なマルチ
を Q のフィルトレーションと呼び，フィルトレーションの全体を l
Fで表す．

ンゲールの全体を表す．

L
1でノルム有界なマルチンゲールは概収束する．特に f=Un)E Mu
f＝ （
f
n
)は概収束する．本稿ではその概収束極限を f
O
Oで表す．
f=Un)E Mに対し，その極大関数 M f及び二次変分 Sfをそれぞれ
よく知られているように，

であれば，

o
o
71/2
Mf= s
u
p￨
f
』, S f =[tun-fn-1戸
＋f
t
]
n
E
Z
+
n=l
のように定義する．マルチンゲールの極大関数と二次変分は，いずれもマルチンゲール理論を展開す
る上で欠くことのできない概念であり，取り分け，それらに関するノルム不等式は，マルチンゲール
理論を支える骨格になっている．極大関数に関する不等式で最もよく知られたものは，
式であろう．

f=Un)EMuに対する

(
2つの）

Doobの不等

Doobの不等式は，

IIMJIIL, さ ~llfoollL,

‘‘j)
1
．2
．
1
‘、,＇‘ 1

I
I
M
J
l
l
w
L
,:
;l
l
f
o
o
l
l
L
,
'

l
l
x
l
l
w
L
p:
=S
U
p入＞〇入P
{
l
x
l＞入｝ 1
/
p<00 であるような確率変
w
L
pは L
o
r
e
n
t
z空間 L
p
,
o
oと一致する．（ 1
.
1
)はすべ
n)EMuとすべての pE[l,oo]に対して成立し，（ 1
.
2
)はすべての f= Un)EMuと
ての f= U
すべての pE(
l
,
o
o
]に対して成立する．これらの不等式は， Doobがマルチンゲールの概念を嘩入し
た直後から知られていたのではないかと思われる．実際， D
oobの 1953年の著作 [
4
]にこれらの不等
u
r
k
h
o
l
d
e
rの不等式は
式が記載されている．他方，二次変分に関する B
のように記述される．但し，

W -ら

は

数 xの全体を表す．よく知られているように

I
I
S
f
l
l
w
L
pSC
p
l
l
f
o
o
l
l
L
P
'
c
;
1
I
I
S
J
I
I
L
p:
;l
l
f
o
o
l
l
L
p:
;C
p
l
l
S
f
￨
￨ら

(
1
.
3
)
(
1
.
4
)

23
f=Un)EMuとすべての pE [
1
,o
o
)に対して成立し，
f=(
i
n
)EMuとすべての pE(
1
,o
o
)に対して成立する．ここに Cpは pのみに

のように記述される．（ 1
.
3
)はすべての

(
1
.
4
)はすべての

u
r
k
h
o
l
d
e
rのよく知られた
依存する（不等式ごとに値の異なり得る）定数である．これらの不等式は B
論文 [
2
]の中に述べられている．

.
1
)
上記の不等式が Lp以外の空間でも成立するか否かを調べることは極めて自然である．実際，（ 1
と同様の不等式が成立する Banach関数空間（定義 2
.
1参照）の特徴付けは [
7
]で確立され，（ 1
.
2
)と
同様の不等式が成立する Banach関数空間の特徴付けは [
5
]で確立されている．更に，（ 1
.
4
)と同様の

6
]で確立されている．しかしながら (
1
.
3
)と同様
不等式が成立する Banach関数空間の特徴付けは [
の不等式が成立する Banach関数空間の特徴付けは，他の 3つの不等式と比較して難しく，長らく解

9
]
,[
1
0
]などがある．
決の糸口が見えない状況が続いた．尚，この問題と関連する研究結果として [
1
.
3
)と同様の不等式が成立する Banach関数空間の特徴付けについて議
本稿では，最近得られた (
論する．

2 定義と表記法
Q 上の殆ど至ることろ有限な値を取る確率変数（可測関数）の全体を L。で表す． xEL
。と入 EJ
R

に対し，例えば集合 {wEn:x(w)>入｝を {x>入｝のように略記する．また，集合 AEI:に対し，

A の指示関数をいで表す．
確率変数から成る線形位相空間 X, y に対し， X Y Yと書いて， X が Y に連続的に埋め込ま
れていることを表す． X, y が（準）ノルム空間であれば， X Y Yであることと， X c Yかつ

l
l
x恥：：：：： C
￨
1吋x (
xEX)であるような定数 C>Oが存在することは同値である．
定義 2
.
1
.n上の確率変数（の同値類）から成る Banach空間 X は，次の条件を満たすとき， Banach
関数空間と呼ばれる：

(
B
l
) L=<
+X <
+L
1
.

バ

(
B
2
)l
x
l： ￨
Y
Ia
.
s
.かつ yEXであれば， xEXであり l
l
x
l
l
x： I
I
Y

(
B
3
) Xn E X (
nE I
N
)
, 0：：：：：％ ↑xa
.
s
. かつ s
u
p
n
E
I
N￨
￨
%
￨
￨
x < OO であれば， X EX であり
l
l
x
l
l
x=s
u
p
n
E
I
Nllxnllx•
但し， xEL
。¥Xであれば l
l
x
l
l
x=00 と約束する．
勿論 L
ebesgue空間ら（ 1： p： o
o
)は B皿 邸h関数空間であり＇

0出⑰空間 ’L⑳血位空間など

も Banach関数空間である．その他， （適当な可積分性を持つ荷重をもつ）荷重 L
ebesgue空間や荷重

O
r
l
i
c
z空間なども Banach関数空間である．更に，変動指数を持つ Lebesgue空間も Banach関数空
間となる．

24
定義 2
.
2
.X を Banach関数空間とする．各 xEL。に対して

l
l
x
l
l
x
,= s
u
pE
[
l
x
y
l
]
yEB(X)

と置き， l
l
x
l
l
x
,< CX) であるような xEL。の全体を X'で表す．但し， B(X)は X の閉単位球を
表す．

Banach関数空間 X に対して，上記のように定義される空間 X'も Banach関数空間になる (
[
I
,
C
h
a
p
.1
]）．例えば，各 pE[l,oo]に対し p
'を pの共役指数とすれば，（Lp)'=L
p
'となる．特に
(
L
o
o
)
'
=L
1である．このことから分かる通り， X'は必ずしも X の双対空間と一致しない．
定義 2
.
3
.X を Banach関数空間とする．各 xEXに対し

l
l
x
l
l
w
X=S
U
p
￨
￨恥￨
x
￨＞入｝ l
l
x
入＞ O

と置き， l
l
x
l
l
w
Xく

CX)

であるような xEL
oの全体を w-Xで表す．本稿では w-Xを X の弱空間と

呼ぶ
前述のように w
-LP=L
p
,
o
oとなる．定義から明らかなように 1・
1l
l
w
L
pはノルムにはならない（が，

l p
,
O
Oには 1・
1l
l
w
L
pと同値なノルムが定義される）．一般に 1・
1l
l
w
Xはノルムで
はなく，準ノルムである．実際， 1・
1l
l
w
Xは三角不等式を満たさないが，準三角不等式
l
l
x+Y
l
l
w
X:
S2
(
l
l
x
l
l
w
X+I
I
Y
l
l
w
x
)
を満たす．このとき，

喜
{ llx￨￨し
佐
： m ElN,XnEw-X,~喜1 Xn=xa.s.}2

l
l
x
l
l
:
x=i
n
f

と置けば， 1・
11
1
:
xは 1・
1l
l
w
Xと同値な w-X上の準ノルムになり， I
・
￨
￨；芯2 は三角不等式を満たす
(
[
1
1
,p
.4
7
]）．これにより w-X上の距離関数 d
(
x
,y
)= l
l
x-y
￨
￨；累が定義できる． w-Xはこの距
anach空間になる．
離に関して完備であり，その意味で準 B

Banach関数空間 X が与えられたとき，その上基本関数 '
P
x
(
t
)，下基本関数竺 x
(
t
)をそれぞれ
戸x
(
t
)=s
u
p{
l
l
]
A
l
l
x
:AEE,P
(
A
)=t
}
,

'
f
!
.
.
x
(
t
)=s
u
p
{
￨
￨い ￨￨x=AEE,P(A)=t},

(
tE [
0
,1
]
)
,

のように定義する．例えば，

互(
t
)=
'
￡
.
.
L
P(
t
)=t
l
/
p

(
1
:
:
;p o
)
,

1 (
0 ;1
)

馴 t
)＝笠 L
=
(
t
)= { 0 (
t=0
)
となる．豆xは [
0
,
1
]上の準凹関数である

(
[
7
,Lemma1
]）．但し，関数 1.p: [
O
,1
]→R が準凹関数で

あるとは，次の 3条件を満たすことである：

25
(
1
) 叫t
)= 0となるのは t=Oのときのみである．
(
2
)r
.
p
(
t
)は [
O
,1
]上で非減少である．

(
3
)叫t
)
/
tは (
0
,1
]上で非増加である．
r
.
p
:[
O
,1
]→R を準凹関数とするとき， M （
r
.
p
:0
)を
l
l
x
l
l
M
(
r
p
:n
)＝
゜雰

叫）

t

<
p
-fo'x*(s)dx< oo

であるような xEL
。の全体と定義すれば， M
(
c
p
:D:）は Banach関数空間になる＊ 1
. これを￠に

*は xの非増加再配列を表す．すなわち
よって生成される Marcinkiewicz空間と呼ぶ．ここに x
x
*は
が(
t
)= i
n
f｛入＞ 0
:P{lxl>入
｝ :
:
;
t
}

(O
のように定義される (
0
,1
]上の関数である． M(cp心）は Banach関数空間であるから， w-M(cp心）を

*
(
c
p
:D
)で表すことにする．このとき， M*(cp:D
)= w-M(cp:D
)
考えることができる．この空間を M
の準ノルムは

l

l
l
x
l
l
M
*（中 Q) = sup [
c
p
(
t
)が (
t
)
O
<
t
:
c
;
l

で与えられる． X が Banach関数空間であれば豆x は準凹関数であるから， X に付随して M （
豆X:D
)
及び M*（
五x:D)が定義できる．

Banach関数空間 X は
， XEX のノルムの値が xの分布のみに依存して定まるとき，再配列不
,yEL。が同分布かつ yEX
変
＊ 2であるといわれる．より正確には， X が再配列不変であるとは， x
のとき， xEXか つ 肱 l
l
x= I
I
Y
l
l
xとなることである．
再配列不変空間には Boyd指標が定義されていて，殊に補間定理の考察において重要な役割を演ず
る
． しかしながら， Boyd指標は本稿の課題である不等式の考察には十分ではない．本稿では， Boyd
指標の代わりになる別の指標を禅入して， 目的の不等式の考察に利用する．

→R に対し，関数 m'P:(
0
,o
o
)→（
0
,o
o
)を

準凹関数 c
p
:[
O
,1
]

叩 (
s
)=

訓s
t
)
三
sup 叫）
s
u
p
0
<
t
<（1
/
s
)
I
¥
1
'
P
(
t
) 。
＜t
三S
I
¥
1
'
P（
t
/
s
)

(
0 o
)

て定義し，指標 p
'
P
,q
'
Pをそれぞれ

l
o
g
m
'
P
(
s
)_ "- l
o
g
m
'
P
(
s
)
三 l
i
m
p
'
P= sup
→0+ logs
0
<
s
<
1 l
o
g
s
s
釦＝

l
o
g
m
'
P
(
s
)_ "
・
-l
o
g
m
'
P
(
s
)
=s
l
i
m
i
n
f
1
<
sく oo l
o
g
s
→oo l
o
g
s

*
1本稿の主定理（定理 3.1)を記述するためには，

M
(
'
P：
!
1
)における「 0」の記述は不要であり，単に M
(
'
P）と記述すれば
(
'
P：Q)と記述する．
それで十分であるるが，関連する結果を述べるにあたり， 0 への言及が必要になるため，敢えて M
*2岩波の数学辞典では再配分不変と表現されている．

26
のように定める． X が B
anach関数空間であれば，戸x は準凹関数であるから， P- ，q_ を定義す
'
P
x

笠x

ることができる．本稿ではこれらを単に P
x
,qxと記すことにする（但し本稿の結果を記述する上で
は
， qxは不要である）．通常， Boyd指標が再配列不変な B
anach関数空間のみに対して定義される

x
,qxは任意の Banach関数空間に対して定義される． X が如何なる Banach閲数空間
のに対し， P
であっても

〇
:
:
;Px::;qx::;1
となる．例えば， pLp = qLp =1
/
p(
1
:
:
;p
:
:
;o
o
)となる．その意味で P
x
,qxは ら の 指 数 pの役割
を拡張するものである．

anach関数空間のとき，その上 Boyd指標，下 Boyd指標をそれぞれ
因みに X が再配列不変な B
(3x,axとすれば， axさP
x
:
:
;q
x
:
:
;
(
3
xとなる．更に [
9
,P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n
s3
.
2
,3
.
5
]によれば， P
x
,qx
について次の事実が知られている：

(
i
)Px>0であるための必要十分条件は
豆x
(At)
l
i
m
i
n
f~ >1
t
→0十 豆x
(
t
)

(
2
.
1
)

であるような定数 A>lが存在することである．

(
i
i
)qx<1であるための必要十分条件は
一ー屁x
(
A
t
)

l
i
m~ < A

t
→0十豆x
(
t
)

であるような定数 A>lが存在することである．
本稿の結果を記述するためには， Pxに加え次のように定義される X の指標 k
x
,￡xが必要である：

u
p
kx= s

豆x
(
t
)

0 (
t
)
'

豆x
(
t
)ちx
,
(
t
)
Ex= s
u
p~ .
O t

勿論 kx oであるということは，

戸x
(
t
)
:
:
;k
'
f
!
_
x
(
t
)

(
0 :
:
;1
)

(
2
.
2
)

となる有限な定数 Kが存在することを意味し， fx oということは，

戸x
(
t
)戸x
,
(
t
)
:
:
;
e
t

(
O
<
t
:
:
;
I
)

(
2
.
3
)

となる有限な定数 tが存在することを意味する． X が再配列不変であれば明らかに kx=1であり，

[
1
,Theorem5
.
2
,p
.6
6
]
)
.
更 に な ＝ 1でもある (

27

3 結果
本稿で解決を図りたい間題は，（ 1
.
3
)と同様の不等式が成り立つような Banach関数空間 X の特徴

.
3
)と同様の不等式が成り立っために X が満
付け (LPを Banach関数空間 X に置き換えたとき，（ 1
.
3
)の不
たすべき必要十分条件）の導出にある．この間題に対する完全な解答は得られていないが，（ 1
等式と Sfと f
o
oを入れ替えた不等式が共に成り立つ Banach関数空間の特徴付けが得られた．
定理 3
.
1
. Banach関数空間 X に対し，次の (
i
)
(
i
i
i
)は互いに同値である：

(
i
)任意の f=Un)EMuに対して
I
I
S
J
l
l
w
X： c
刈リ←』 x ヵり

l
l
f
o
o
l
l
w
X： CxI
I
S
J
l
l
x

(
3り

であるような X のみに依存する定数 Cx>0が存在する．

(
i
i
)Px>0かつ kx o
.
(
i
i
i
)Px>0かつ fx o
.
上記の Px> 0は，「（ 2
.
1
)が成り立つような定数 A>lが存在する」という条件に懺き換えることが

o及 び 依 く
できる．また， kx
00 はそれぞれ，「（ 2
.
2
)が成り立つような定数

k>Oが存在する」

2
.
3
)が成り立つような定数 tが存在する」という条件に置き換えることができる．
及び「 (
豆x:O)と一致し，双方の準ノルムは互
更に，上記の（同値な）条件が成り立つとき， w-Xは M*（
いに同値である．
上述のように， Banach関数空間 X が再配列不変であれば， kx=fx=1となる．従ってこの場

.
1の (
i
)が成り立っための必要十分条件は， Px>0という条件のみということになる．
合，定理 3
.
1の各条件から他の条件を導くためには，いずれも少々煩雑な計算が必要になる．その詳細
定理 3
な記述は，他の機会に譲ることとして，本稿の以下の部分では，定理 3
.
1の証明のために得られた副
産物的な結果について述べる．副産物的ではあるものの．それ自体，十分意味のある結果であると思

.
1の（i
)が成立するときに， Px>0であることを示すために
われる．この副産物的な結果は，定理 3
利用される．

0
,1
]を表し， Iには確率測度として L
e
b
e
s
g
u
e測度が与えられているものと
以下， Iで半開区間 (
する（従って I上の L
e
b
e
s
g
u
e可測関数は，確率変数とみなされる）．勿論 Iも確率空間であるから，

I上の可測関数（確率変数）から成る Banach関数空間を考えることができる．今後， 9上の確率変数
から成る Banach関数空間を 0 上の Banach関数空間と呼び， I上の可測関数から成る Banach関
数空間を I上の Banach関数空間と呼ぶ

c
p
:[
O
,1
]→R を準疇数するとき， A
(
c
p
:
I
)を

1

l
l
r
J
I
I
A（
亨x:J) :=

が(
s
)d
c
p
(
s
) o

28
であるような I上の可測関数 nの全体と定義すれば， A（
'
P
x
:
I
)は準 Banach空間となる．これを￠
によって生成される Lorentz空間と呼ぶ．但し，かは可測関数 nの非増加再配列を表す．すなわ

ebesgue測度をμで表せば，がは
ち
， I上の L
T
/
*(
t
)= i
n
f｛入＞
のように定義される．更に

o
:μ{IT/I>入
｝ :
S
t
}

(O
nを Q 上の確率変数 xに罹き換えて考えることにより， 9 上の Lorentz

空間 A
(
c
p
:
n
)を定義することができる． A（
c
p
:I
)は I
I
.I
I
A
(
<
p
:I
) と同値的にノルム付け可能であり，そ

(
c
p
:
n
)についても同様である．
のノルムに関して再配列不変な I上の Banach関数空間にできる． A
L
o
r
e
n
t
z空間に加え， M
a
r
c
i
n
k
i
e
w
i
c
z空間やその弱空間に対しても， Q 上の空間と I上の空間が定義
される．

X を Q 上の Banach関数空間とするとき戸x は準佃関数であるから， X に付随して M 停x:n),

)
,M 噂 x:n),M*（応： I),A（五： n
)
,A停x:I)などが定義される． Y が I上の Banach
M （五： I
関数空間の場合もその上基本関数訥r が Q 上の Banach関数空間の上基本関数と同様に定義され，
準凹関数になる．よって M （西： n),M（西： I
)などが定義される．

X が再配列不変でない場合でも， M （五： n
)
,M （
戸x:I),A（応： n
)
,A（応： I
)はいずれも再配列
不変な Banach関数空間になることに注意を要する．
特に Y が I上の再配列不変な Banach閲数空間であるときには

A（西： I
)→Y →M （西： I
)
であり， '
P
A（五： I)='PM（石： I
)=石となる． M （
戸x:I)はそのような再配列不変 Banach関数空
間で最大のものであり， A（
豆x
:
I
)は最小のものである (Semenov[
1
2
]
)
.

D を各 tEIに対して区間 (
t
,1
]上で積分可能な I上の関数の全体とし， D 上の線形作用素 Q を

J

陶 （t
)＝

n(s)ds (
tEI)

で定義する．この作用素の有界性について， Boydの定理 (
[
3
]）を用いることにより，次の結果を導

[
1
0
,P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n2
.
2
]
)
.
くことができる (

→R を準凹関数とする．このとき次の (i)-(iv)は互いに同値である：

命題 3
.
2
.c
p
:[
O
,1
]

(
i
) Qの M(cp:I)への制限は， M （
ゃ
：I
)からそれ自身への有界線形作用素である．
(
i
i
) Qの M
(
c
p
:I
)への制限は， M
(
c
p
:I
)から M
*
(
c
p
:I
)への有界線形作用素である．
(
i
i
i
) Qの A
(
c
p
:I
)への制限は， A（
中
：I
)からそれ自身への有界線形作用素である．
(
i
v
)p
'
P>0
.
特に， X が Q 上の Banach関数空間であれば， Px>0であることと Qが M （
戸x:I)からそれ自
身への有界作用素となることは同値である．更に， Qの定義域 D が M*（
戸x:I)に含まれ，尚かっ Q
が M*（五： I
)からそれ自身への有界作用素になれば， Px>Oとなることも命題 3
.
2から導かれる．

29
この事実を用いて，例えば [
9
]では，不等式

sIISfllw-XsCxllfcollw-X

C
x
1
l
l
f
c
o
l
l
w
X

(
3
.
2
)

が成り立つとき， Px>0 となることが示されている．その手順は次の通りである：

(
1
)(
3
.
2
)が成り立つとき， w-X=M*（
ちx心）となることを示す．
(
2
)w-Xと M*（
'
P
x
:n
)のノルムが同値であることから (
3
. ...