Knörr格子とテンサー積について (有限群のコホモロジー論とその周辺)

概要

15

Knorr格 子 と テ ン サ ー 積 に つ い て
名古屋市立大学河田成人

S
h
i
g
e
t
oKawata
NagoyaC
i
t
yU
n
i
v
e
r
s
i
t
y

Gは有限群とし，（K,0
,k
)を p
-モジュラー系 (
pは素数）とする．すなわち， K は乗法
r
0をもつ vの付値環
付値 uを備えた標数 0の完備離散付値体であり、 0 は極大イデアル 7
で
， k=0/1rOは標数 pの 0 の剰余体とする．ここでは， Kは代数的閉体と仮定し， R で
0 または K を表すものとする． RGー格子 (RG—表現加群）といえば， R- 加群として自由な有

限生成右 RG-加群を意昧する．有限群の表現論にまつわる基本的な用語等については [
N
T
]
を参照する．

l
m
o
s
ts
p
l
i
ts
e
q
u
e
n
c
eとの関わりを通して
ここでは， Knorr格子のテンサー積について， a
考察したい．

1 準備

群環 R G上の表現加群の短完全列

“:0→ N → M

ム L→ O

がa
l
m
o
s
ts
p
l
i
ts
e
q
u
e
n
c
eであるとは，次の 3条件を満たすときをいう：

(
l
) L と N は直既約である．

(
2
) d は分裂列ではない．
(
3
) 任意の分裂全射でない準同型写像 g:X→Lに対し
ある準同型写像 h:X→M が存在して g=Johが成り立つ．

h 0

M

>

------* L

f

16
射影的でない直既約 RG-表現加群 Lで終わる a
l
m
o
s
ts
p
l
i
ts
e
q
u
e
n
c
eは一意的に存在する

(
[
A
R
]
,[
R
S
]
) が，それを
d(L):
0---+TL→ m(L)---+L---+0
と書く． A
u
s
l
a
n
d
e
r
R
e
i
t
e
nt
r
a
n
s
l
a
t
i
o
nTについて， R = Oのときは T=

n(Helleroperator)

であり， R=kのときは T＝炉であることが知られている．
加群 RGの a
l
m
o
s
ts
p
l
i
ts
e
q
u
e
n
c
ed(R
り
：
自明な RG-

0→ TRG+
m
(
R
G
)
+RG+
0
と直既約 RG
表 現 加 群 Lのテンサー積 L@d(R
叫
：

一 一

0

一

L@m(R
』 -L@Re=L

L⑳ TRe

0

について， A
u
s
l
a
n
d
e
r
C
a
r
l
s
o
nと B
e
n
s
o
n
C
a
r
l
s
o
nは次の定理を示した．

.
l
(
[
A
C
,Theorem3
.
6
]
,[
B
C
,P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n2
.
1
5
]
)
.
定理 1

L⑧ “(Re)について次が成り

立っ．

(
l
)Lの階数が pで割り切れれば， LR“(RG)は分裂する．
(
2
)Lの階数が pで割り切れないとする． L＠ TRG竺 T
L
E
f
J
I(
Iはある入射加群）のとき，

―

L Rバ枷）は次のように “(L)と分裂列の直和の形となる：
d(L):0 +TL
E
f
J
分裂列：

m(L) +L +0
E
f
J

I =I

さらに，次の定理も示されている．

定理 1
.
2
(
[
A
C
,C
o
r
o
l
l
a
r
y4
.
7
]
,[
B
C
,Theorem2
.
1
]
．
）

直既約な RG
表現加群 L
,X につ

いて

RaIL@X* ￠ =⇒ p

〖 rank社かつ X 竺 L.

この場合， L@L＊の直既約分解において RGは重複度 lで現れる．

c
o
t
tRG-表現加群の a
l
m
o
s
ts
p
l
i
ts
e
q
u
e
n
c
eと RG-表現加群のテンサー積
この報告では， S
norr格子のテンサー積と S
c
o
t
t表現加群との関係に
について考察し、その結果を応用して K
norr格子の場合を考えていく．
ついて言及したい．特に，上述した定理に関連して， Lが K

17
2 S
c
o
t
t加群の Almosts
p
l
i
tsequenceとテンサー積
Q を G の p—部分群とする． kQ や：＝ kQ 叡QkG （置換加群）の直規約分解における直既

約因子百 (
Q
)で，「知が百(
Q
)の S
o
c心(
Q
)）の直既約因子として現れる」ものが一意的に存
在する．この S
(Q)を Q をヴァーテックスに持つ S
c
o
t
tkG-加 群 と 呼 ぶ
K上の置換加群の匝和因子は， 0上の置換加群の置和因子に一意的に持ち上げ可能である．
特 に 叩 ↑Gの直既約因子で S
(Q)の持ち上げとなっているものを S(Q)と書き Q をヴァー
テックスに持つ S
c
o
t
tOG-加群と呼ぶ：

S(Q)/1rS(Q)~S(Q)
Pが S
y
l
o
wp部分群のときには， S(P)=k
c
, S(P)=Oc （自明な加群）である．
S
c
(
Q
)で
， Q をヴァーテックスに持つ S
c
o
t
tRG
表現加群を表すことにする．

S
c
(
Q
)＝

注意 2
.
1
.

｛
：
;
:
;；
［
口
：

直既約 RG表現加群 V が Q射影的であるとき， V は Sc(Q)@V の直既約

因子として現れる．

証明

まず， Qが Gの正規部分群の場合を考える． S
c
(
Q
)に Qは自明に作用するので，短

完全列 0→QRG→S
c
(
Q
)→釦→ 0を Qに制限すれば分裂する．特に， 0→ORGRV→

ロ

S
c
(
Q
)RV →RcRV=V→0は Q に制限すれば分裂する．一般の場合は， G
r
e
e
n対応を
考えれば良い．

B
e
n
s
o
n
C
a
r
l
s
o
nは S
c
o
t
t加群とテンサー積に関して次の命題を示した．
命題 2
.
2
(
[
B
C
,P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n2
.
4
]
．
）

直既約な RG表現加群 Lのヴァーテックスが Qであ

り
， Lの Q
s
o
u
r
c
eの階数が pで割り切れないとする．このとき， S
c
(
Q
)が L@L*の直既約
因子として現れる．

S
c
(
Q
)の a
l
m
o
s
ts
p
l
i
ts
e
q
u
e
n
c
e叫 S
c
(
Q
)
)とRG
表 現 加 群 V のテンサー積 VRd(Sc(Q)):
0→ VRTSc(Q)→ VRm(Sc(Q)）
→ VRSc(Q)→ 0
について考える．注意 2
.
1から最終項 VRS
c
(
Q
)の直既約分解において V が直既約因子と
して現れるが，次が成り立つ．

18
命題 2
.
3
.

Q は Gの正規 p一部分郡であるとする． RG-表現加群 V が Q射影的であれば
V ⑳ 飢S
c
(
Q
)
)＝ t
f
f
(
V
)① 分 裂 列

ここで，び (
V
)は次のような形の (TVから始まり V で終わる）短完全列である：

0→ TV→
ヨ V'→ V → 0 (V'はある RG表現加群）．

この節の残りで，命題 2
.
3の証明をする．まずモジュラー表現 (R=k
) の場合を考える．

Q が正規部分群なので， Q をヴァーテックスに持つ S
c
o
t
tkG-加群 S(Q)は k(G/Q)ー加群と
eadと QS(Q)の s
o
c
l
eは共に知である．
して杞の射影被覆である．そのため， S(Q)の h
s
:S(Q)→ S(Q)/Rad(S(Q))＝柘を自然な全射とし，］： kc=Soc(DS(Q)）→ Q5(Q)を
osEHomkcほ(
Q
)
,DS(Q)) とおくと次が成り立つ．
埋込とする．￠ =J
補題 2
.
4
.￠は a
l
m
o
s
tp
r
o
j
e
c
t
i
v
eであり， “(S(Q)）は射影被覆 P
n
s
(
Q
)→ DS(Q) とのの

p
u
l
l
b
a
c
kとして構成される：

s

A(S(Q)):o+
炉 (
Q
)+m(S(
Q
)
)+

』

pull-back

0証明

s
(
Q
) +o

ト

Q芍 (
Q
)+ P⑯ (Q) -------+⑮ (Q) +0
.

のが射影的でないことを示す：実際， Q は G の正規 p部分群なので，百 (
Q
)↓Q

(
r
e
s
p
. ⑯（ Q） 匂 ） は い く つ か の 切 (
r
e
s
p
.

n
幻）の直和である．よって

kQ-準同型写像

↓Q→ OS(Q)匂は射影的ではなく，従ってりは射影的ではない．
蜘 ： S(Q)

Q
)の任意の kG-自己準同型写像で同型ではないとしよう． I
m
μ
<
;
;
;Rad(百(
Q
)
)=
μを百 (

K
e
r
￠ なので￠ 0 µは

0—写像となる．このことは¢が almost

p
r
o
j
e
c
t
i
v
eであることを意味

ロ

する．

注意 2
.
5
.

M を Q射影的 kG—加群とする． Q は G の正規 p- 部分群なので S(Q) ↓Q は

いくつかの知の直和であり， k
Q-準同型写像 s
l
Q
:S(Q)↓Q→ 灼 は 分 裂 す る ． し た が っ て

kG-準同型写像 idM@s:M @S(Q)→ M ＠知は分裂して，次を得る：
idM◎ : M鐸 (
Q
)i
虹翌 M ⑳ 杞 ＝ M i竺翠"JM＠ ⑮ (Q).
短完全列 M@d(S(Q))は M R P
⑮ (
Q
)→ M ＠ ⑯(
Q
) と idM紅 に よ る p
u
l
l
b
a
c
kとして

“心(Q))は「 M で終わるような短完全列 0→ M” → M
’→M→O
構成されるので， M ⑳
（ここで M',M” はある k
G-加群）」と「ある分裂列」との直和であると分かる．

19
また， Q が正規部分群なので，百(
Q
)の s
o
c
l
eと n-1百(
Q
)の headは共に知である． t
:

o
c
(
S
(
Q
)）→
n-1s(Q)→ n-1S(Q)/Rad(n-1S(Q))＝知を自然な全射とし， I: 知 ＝ S
5(Q)を埋込とする．({)=tO
fEHomkG(n-1S(Q),S(Q)）とおくと次が成り立っ．
補題 2
.
6
.ゃは a
l
m
o
s
tp
r
o
j
e
c
t
i
v
eであり，“（ n-1s(Q)）は 5(Q)の射影被覆 P百(
Q
)とr
.
p
のp
u
l
l
b
a
c
kとして構成される．

注意 2
.
7
. W を Q射影的な kG-とする，如： kQ→ 百(
Q
)匂が分裂するので， kG-準

Q
)は分裂する．よって idw@'P:W @n-1百(
Q
)→
同型写像 idw@t:W @柘 → W R百(

w鐸

wRJZ1(n-1s(Q)) は
WRPs(Q)→ W 忍5
(
Q
)とidw@戸の p
u
l
l
b
a
c
kとして構成されるので， wRJ
Z
1
(
n
1
s
(
Q
)
)
(
Q
)の像は W@S(Q)の直和因子 W R柘に一致する．今，

は「 Q Wで始まるような短完全列 0→ N W→ W'→ W
” → O （ここで W',W” はある kG加群）」と「ある分裂列」の直和と分かる．

注意 2
.
8
.(
1
)短完全列汐： 0→ A-4B→ C → 0と直和分解 A =A1① A2について，
次の条件（i
)と (
i
i
)は同値である．

(
i
)A2はびから “
s
p
l
i
t
’
'する：すなわち， B=B1① 恥 (
A
2竺恥）と直和分解されて

O→ ふ → B1→ C→ 0
)① (
0→ A2→ 恥 → 0→ 0
)
.
な：＝ （
(
i
i
) ある r
_
p
:
B→ A2が存在してゃ O J
I
A
2=i
d
A
2かつ f
(
A
1
)C Ker<
p
.

(
2
)短完全列汐： 0→ A → B 』 パ フ → 0と直和分解 C= C1① ら に つ い て ， 次 の 条 件
(
i
i
i
)と (
i
v
)は同値である．
(
i
i
i
)ら は ぶ か ら ‘
‘
s
p
l
i
t
" する：すなわち， B=B1① 恥 (
B
2竺 C
2
) と直和分解されて

g:
=(
0→ A → B1→ C1→ 0
)E
B(
0→ 0→ B2→ C2→ 0
)
.
(
i
v
) あるゅ： C2→ B が存在して go心＝ i
d
c
2
.
(
3
)ぷ
： 0→ A → B → C → 0と直和分解 A=A1① A
2
,C = C直 Q について， A2が
汐から s
p
l
i
tし ， 一 方 で ら が 汐 か ら s
p
l
i
tするとする．このとき， A2と ら は 汐 か ら 同 時 に

s
p
l
i
tする．
証明

(
1
)(
i
i
)
=
=
=
=
}
(
i
)B1=Kerc
p
,B2=f
(
A
2
)とおけば良い．

(
2
)(
i
v
)⇒ (
i
i
i
)B1=g―1
(
C
1
)
,B2=Im心とおけば良い．
(
3
) まず A2を s
p
l
i
to
u
tしてから，心： C2→ B → B/A2を考えれば良い．

ロ

20

注意 2
.
5
,2
.
7および 2
.
8から次が言える：

補題 2
.
9
.Q は G の正規 p-部分群であるとする．もし kG-加群 M が

Q射影的であれ

ば
， MR“(5(Q)）は分裂列と次のような（炉 M から始まり M で終わるような）短完全列

0→ 炉 M → M
’ → M → 0 （ここで M'はある kG-加群）との直和である．
次に，整数表現 (R=O) の場合を考える． Qが G の正規部分群であるという仮定を続
ける． Q は S(Q)に自明に作用していることに注意する。 S(Q)は O(G/Q)ー表現加群とみな

:S(Q)→ 0Gで あ り ひ 入 射 包 絡 i:0G→ S(Q)でもある．
したときには 0Gの射影被覆 s
p=io1r―1
1
Q
l
i
d
o
aosEEndoa(S(Q)）とおくと，次が成り立つ．
補題 2
.
l
O
(
[
K
l
,Lemma2
.
3
]
)
. pは a
l
m
o
s
tp
r
o
j
e
c
t
i
v
eである特に， a
l
m
o
s
ts
p
l
i
ts
e
q
u
e
n
c
e

d(S(Q))は射影被覆 P
s
(
Q
)→ S(Q)と pの p
u
l
l
b
a
c
kとして構成される：
A(S(Q)):0 +DS(Q) +m(S(Q)) + S(Q) +0

。
一

』

p
u
l
l
b
a
c
k

』
P

HS(Q) + P
s
(
Q
) + S(Q) +0
.

Lを Q射 影 的 な O G
表 現 加 群 と す る 制 限 S(Q)い は OQのいくつかの直和であり (Qが自
i
Q
:S(Q)↓Q→ OQは OQ-分裂全射なので，
明に作用しており）制限された OQ-準同型写像 s
id￡@s
: L @S(Q)→ L@叩 ＝ L は OG-分裂全射であると分かるまた，制限された OQ準同型写像 i
l
Q
:OQ → S(Q) 匂は OQ—分裂単射であるので， idL@i: L@Oa→ L @S(Q)
は OG—分裂単射である．従って， idL@P は次のように分解される：

i
d尋 p: L@S(Q) i疇

s

L @叩 ＝ L :宣idL L=L@Oa i鱈

i L@S(Q).

L⑧ “(S(Q)）は L@Ps(Q)→ L@S(Q) と idL@Pの ap
u
l
l
b
a
c
kとして構成されるので，
次の主張が成り立つ．

補題 2
.
1
1
.

Q は G の正規 p—部分群であるとし，

OG- 表現加群 L は Q射影的であると

する．このとき， L@JZl(S(Q)）は分裂列と短完全列びとの直和となる：ここでぷは，射影

21
被覆 PL→L と 7f-1I
Q
l
i
山のp
u
l
l
b
a
c
kL
'として構成された短完全列である：
ぷ： O

〉

Q L )L ' )L )
0

一
。 一一一
↓

p
u
l
l
b
a
c
k

OL

3

1r-11QlidL

L

0
.

ロ

命題 2
.
3の証明

PL

』

補題 2
.
9と 2
.
1
1から主張が従う．

Almosts
p
l
i
tsequences とテンサー積

.
3の結果を踏まえて，少し一般的に次のような設定を考えてみたい．
この節では，命題 2
直既約 RG
表現加群 U
,V
, W と “(U):0+rU+m(U)~ U +0が次の条件
（＊）を満たすとする：

(
*
) V ⑳ “(U)＝ 忍 (W)④ 分 裂 列
ただし t
'(W)は次のような形の (TWから始まり W で終わる）短完全列である：

0→ T W→
ヨ W’

→

W

→

0 (
V
'はある RG
表視加群）．

上記の設定のもとで、次の可換図式

HomRc(W, V@m(U))

~竺~ HomRc(W, V @U)

I

I

HomRc(W@V
*
, m(U))

二~

HomRc(W@V
*
, U)

にまつわる A
u
s
l
a
n
d
e
r
C
a
rI
s
o
nの議論 [
A
C
,S
e
c
t
i
o
n
s3and4
]を活用すれば，次の命題が成
り立つことが分かる．

命題 3
.
l
(
[
K
2
,P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n2
.
4
]
)
.

U
,V
, W は直既約 RG
表現加群で，上の条件（＊）を

満たすとする．このとき次は同値となる．

(
i
)ぷ(W)=d(W).
(
i
i
)W 1
8
1V＊の直既約分解において， U が重複度 1で現れる．

Q (#｛恥｝）を Gの p
s
u
b
g
r
o
u
pとし， N ＝N瓜Q)とおく．
対応とする．

fを (G,Q,N)に関する

Green

22
補題 3
.
2
. 直既約 RG-表現加群 U
,V
,W は Q をヴァーテックスにもつとする．また，こ

U
,J
V
, JWが上の条件（＊）を満たすとする．すなわち JVRJ
Z
l
(
J
U
)
れらの Green対応子 J
は分裂列列と次の形の短完全列との直和となっているとする：
ぷ
： 0→TJW→B →J W→0 (Bはある R N
表現加群）．

i
)
,(
i
i
)は同値である．
このとき，次の (

(
i
)汐＝“（ JW).
(
i
i
) VRJ
Z
l
(
U
)= J
Z
l
(
W
)E
B(
as
p
l
i
ts
e
q
u
e
n
c
e
)
.

証明

Green対応から次の直和分解

V↓N=JV 〶（臼江）

（
各Y
tは (
Q
Y
inN)射 影 的 (
y
iEG¥N))

を得るが，“（ JU)↓Q叩 w は分裂するので XR“(fU)は分裂列であることに注意する．

(
i
)⇒ (
i
i
)：各 Y虚 “(JU)は分裂するので，（ V↓NR“(fU)） や は “(W) と分裂列
の直和となる．“（ JU)
や は “(U) と分裂列の直和であるので，（ V↓N@d(JU)）
↑G 竺

VR“(fU)↑G に注意すれば (
i
i
)が成り立つことが分かる．
(
i
i
)⇒ (
i
):(V⑭ “(U)）詠は “(JW) とある Q
s
p
l
i
t短完全列ダとの直和となる一方
で，“（ U
)詠 は “(JU) とある Q
s
p
l
i
ts
e
q
u
e
n
c
eの直和となることが知られているので，

V↓N⑭ “(U)詠 は ぶ と あ る Q
s
p
l
i
t短完全列クとの直和として書ける． V@d(U)の N
への制限を 2通りの方法で考えることで，“（ JW)①ダ＝汐①グを得る．ここでまず忍は
分裂しないことを主張しておく：実際，仮に汐が分裂すると仮定してみると（汐①グ）↓Q は分
裂することになるが，しかし “(JW)いは分裂しないので矛盾である．さて， V↓N@U
↓N
は (V⑭ “(U)
↓
）N (＝ぷ①グ）の最終項であるので

V↓N@U↓N = Y① T
と直和分解できる．ただし，ぷは Y （
竺 JW)で終わり，クは T で終わるとする．一方で

V↓N⑳ U↓N = Z① S
と直和分解することもできる．ここで，“（ JW)は Z (~JW) で終わり，グは S で終わる
とする．今，ゆ： J W→Y を同型ではない任意の R N
ー自己準同型写像とする． c
p
:J W二
→
YYY ⑤ T~Z ① S を考えて， 'Pl:

J W→Z と四： J W→S は c
p='Pl+'P2を満たす

P
lは同型ではないので，四は “(JW)の中間項を経由する． J Wは Q射影的
ものとする． '
で あ り グ は Q射影的なので，四はダの中間項を経由する．ゆえにゅはぶの中間項 B を経
由するので汐＝“（ JW)と分かる．

ロ

23
さらに， A
u
s
l
a
n
d
e
r
C
a
r
l
s
o
nの議論 [
A
C
,P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n2
.
4
]を利用すれば次の事実を得る．

U
,V
, W は直既約 RG
表現加群で次が成り立つと

命題 3
.
4
(
[
K
2
,P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n2
.
5
]
)
.

する：

V ⑳ “(U)=JZl(W) 〶分裂列．
このとき，直既約 RG-加群 X について

uIX@V*

•

x~w.

命題 3
.
1において U=Sc(Q),V = Wとおくと，次が言える．

命題 3
.
5
. 命題 2
.
3において，さらに次が同値となる：

(
i
) 汐(
V
)は a
l
m
o
s
ts
p
l
i
ts
e
q
u
e
n
c
eである．
(
i
i
) V @V＊の直既約分解において Sc(Q)が重複度 1で現れる．

4

Knorr格子 (Virtuallyi
r
r
e
d
u
c
i
b
l
eOG—表現加群）とテンサー積

O G表 現 加 群 Lに対して， t
r
:End0(L)→0 をトレース写像とし

。
=｛fE AItrf= O}

A =Endoc(L), A

とお <.Knorrは O G
表現加群において， “
v
i
r
t
u
a
l
l
yi
r
r
e
d
u
c
i
b
l
e
"という概念を提唱した [
K
n
]
.

定 義 (Knorr)

OG
表 現 加 群 Lが v
i
r
t
u
a
l
l
yi
r
r
e
d
u
c
i
b
l
e (Kno
汀格子）とは
A
=
(
'
.
)•idL

①

。かつ

A

。 ...